PHP算法，它计算将一组划分到另一组的所有可能组合

Question

我正在寻找一种二维组合算法..如果这是正确的措辞。我对 PHP 非常有经验，但对算法和高级数学不熟悉，所以请多多包涵。

我有一组元素，我想将它们与另一组元素组合并计算所有可能的组合，以便之后进行分析。集合中元素的数量永远不会改变，两个集合总是有五个元素：

$set1= array('A', 'B', 'C', 'D', 'E');
$set2= array('One', 'Two', 'Three', 'Four', 'Five');

不知道这是否是正确的措辞，但我想查看第 1 组项目的所有组合，在第 2 组项目之间划分。两个集合中的所有元素只能在每种可能性中使用一次，并且 Set 1 元素可以在 Set 2 元素中组合在一起，这样我就得到了一个看起来像这样的结果数组（一些随机值作为示例）：

$possibilities= array(
  0 => array(
    'One' => array('A'),
    'Two' => array('B'),
    'Three' => array('C'),
    'Four' => array('D'),
    'Five' => array('E'),
  ),
  1 => array(
    'One' => array('A', 'B', 'C'),
    'Two' => array('D'),
    'Three' => array('E'),
    'Four' => array(),
    'Five' => array(),
  ),
  2 => array(
    'One' => array('C'),
    'Two' => array(),
    'Three' => array('A'),
    'Four' => array('B'),
    'Five' => array('D', 'E'),
  ),
  3 => array(
    'One' => array(),
    'Two' => array(),
    'Three' => array('A', 'B', 'C', 'D', 'E'),
    'Four' => array(),
    'Five' => array(),
  ),
);

等等……那些价值观。欢迎对此提出任何反馈，尤其是：

• 如何在 PHP 中编写类似的代码？通过递归函数？我是否使用笛卡尔积算法？
• 可能有多少种组合？ 5^10 ?
• 根据前一点：在 Web 应用程序中实时处理这些数据是否可行？如果我有 1000 万个组合，我可能需要提前进行计算，保存结果分析并在实时应用执行期间使用它？
• 有一些限制（例如：设置 2 项“一”、“二”和“三”应始终至少包含一组 1 中的一项）但无用的组合将在之后的分析过程中被删除，因此无需包括该组合在组合算法中，除非它可以通过在那时构建这些来减少计算时间？

我的问题可能不是很清楚，所以请问我是否需要提供更多或更好的信息。

提前致谢

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2012 年 2 月 28 日更新

我已经尝试了我在互联网上找到的 Power Set 和笛卡尔积函数的 PHP 实现（这种东西有点超出我自己尝试和编码的能力）。所以当我执行这段代码时：

$powerset= powerSet(array('A', 'B', 'C'));
$cartesian = cartesian(array(
    'Set1' => $powerset,
    'Set2' => array('One', 'Two', 'Three')
));

这是 powerSet 函数放入 $powerset 的内容：

Array (
      [0] => Array ()
      [1] => Array (
        [0] => A
      )
      [2] => Array (
        [0] => B
      )
      [3] => Array (
        [0] => B
        [1] => A
      )
      ...

这就是笛卡尔函数返回的结果：

Array (
      [0] => Array (
        [Set1] => Array ()
        [Set2] => One
      )
      [1] => Array (
        [Set1] => Array (
          [0] => A
        )
        [Set2] => One
      )
      [2] => Array (
        [Set1] => Array (
          [0] => B
        )
        [Set2] => One
      )
      [3] => Array (
        [Set1] => Array (
          [0] => B
          [1] => A
        )
        [Set2] => One
      )
      ...

所以它有点像我想要的，但不是最难的部分。它“单独”考虑组合，并且不在 Set2 中分配 Set1，确保所有三个 Set2 项目都使用所有 Set1 项目。

• 我是否误解了这两个函数的使用？我想这是我对如何结合 Power Set 和笛卡尔积来实现我的结果没有正确理解的东西。我应该在 cartesian() 函数中调用 powerSet() 函数吗？
• 也许那些特定的 PHP 函数不能完全满足我的目的？我在这里找到了它们：
  • 电源组：http://bohuco.net/blog/2008/11/php-arrays-power-set-and-all-permutations/
  • 笛卡尔积：Finding cartesian product with PHP associative arrays

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另一个更新：在没有编程参考的情况下重述问题

这个问题与我为战略游戏创建的分析工具有关。每次使用该工具时，玩家可以从大量单位中选择 5 个不同的单位。这些单元可以以多种方式与其他（静态）实体（我们称这些“池”）组合。如果将这些单位与某些池相结合，这些单位具有可能会或可能不会改善玩家策略的特征。例如：

• A 单元喜欢在 1 号池，但不喜欢在 2 号池
• 单元 B 讨厌在池 1 中，除非单元 A 也在那里
• 等等..

该工具的目的是找出哪些单位进入哪个池的最佳组合。这些是规则：

• 总是从大约 50 个集合中选出 5 个不同的单元。所有这些单元都有不同的特征。
• 总是有相同的 5 个池。它们具有不同的特征，但池不是从更大的集合中选择的，它们始终相同。
• 每个池可以包含多个单元，从 0 到 5。
• 每个单元只能在一个池中。

输入是：

• 5 个变量单位的列表：A、B、C、D、E
• 5 个静态池的列表：Pool1、Pool2、Pool3、Pool4、Pool5

输出应该是这两个列表之间所有可能的组合，基于上述规则。一些例子：

组合1

• 池 1：A
• 池 2：B
• 池 3：C
• 池 4：D
• 池 5：E

组合2

• 池 1：A、B、C
• 池 2：D
• 池 3：E
• 池 4：
• 池 5：

组合3

• 池 1：C
• 池 2：
• 池 3：A
• 池 4：B
• 5 号组：D、E

组合4

• 池 1：
• 池 2：
• 池 3：A、B、C、D、E
• 池 4：
• 5 号池：

等等……

所以我想做的事情是：

1. 采用存在的所有可能的单元和池组合。
2. 遍历它们并根据单元和池之间的协同作用为组合分配“战略价值”。
3. 选取“策略价值”最高的前 10 个组合

第 2 步和第 3 步没问题。 我遇到的问题是生成池中所有可能的单元组合。

希望这是对问题的更清晰的描述

Answer 1

好的，所以现在我想我已经知道你想做什么了。单位集合不是单位集的幂集的元素，它们是（几乎）单位集的partitions 的元素。我写“几乎”是因为，严格来说，空集不是集合的分区集合的成员。现在我认为你的问题是计算一组 5 个单元的所有分区；该分区最多有 5 个元素（每个元素包含一个单元）。对于您的问题，本身不包含 5 个成员的单元集的任何分区都应填充出现的空集。

现在您必须将这些分区映射到池的顺序。您的第一个组合将池映射到单元集分区的元素，因此：{1->{A}, 2->{B}, 3->{C}, 4->{D}, 5->{E}}。如果您还想要将池映射到单元集的同一分区的其他组合（例如{2->{A}, 3->{B}, 4->{C}, 5->{D}, 1->{E}}，那么您必须计算池的所有permutations，并将每个池映射到集合的同一分区单位。

重复直到完成。

Answer 2

您可以使用 kd-tree 或 treemap 算法。这种算法很好地找到最近的邻居，最近的点对或寻址空间，平铺空间。