Fibonacci(n) 的这种实现是如何工作的？ [递归]答案

【问题标题】：How does this implementation of Fibonacci(n) work? [recursion]Fibonacci(n) 的这种实现是如何工作的？ [递归]
【发布时间】：2011-12-15 06:21:51
【问题描述】：

我正在阅读的一本 Java 书籍中的一个练习让我感到困惑：

斐波那契数列是数字 1、1、2、3、5、8、 13、21、34 等，其中每个数字（从第三个开始）都是总和前两个中的。创建一个将整数作为参数的方法参数并显示从开始。例如，如果您运行 java Fibonacci 5（其中 Fibonacci 是类的名称）输出将是：1、1、2、3、5。

我本可以发誓它需要一个数组或某种方式来存储以前的数字，但是当我看到答案时，情况并非如此：

import java.util.*; 

public class Fibonacci { 

    static int fib(int n) {
         if (n <= 2) 
              return 1;

         return fib(n-1) + fib(n-2);
    } 
    public static void main(String[] args) {
    // Get the max value from the command line: 
    int n = Integer.parseInt(args[0]); 
    if(n < 0) {
        System.out.println("Cannot use negative numbers"); return;
    } 
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        System.out.print(fib(i) + ", ");
    }
}

有人能解释在其内部使用函数是如何产生这种情况的吗？

【问题讨论】：

在自身内部使用函数称为recursion
了解递归的最好方法是学习递归。
学习递归的最好方法就是去做，不要想花哨的名字。想象一下你是编译器/虚拟机，你正在运行程序。感受堆栈的存在。达到禅意。
我真的建议以n（可能是 4 或 5）的低值“玩电脑”。跟踪准确代码运行时发生的情况。努力得到了回报。
这是一个递归解决方案。这也是一个糟糕的解决方案，除非您想要最小化效率。请注意，它不断地重新计算以前的 fib 数字。线性解决方案更好。

标签： java recursion fibonacci

【解决方案1】：

您提供的代码是 recursive 解决方案的示例。当函数第一次被调用时，它会一直执行，直到它调用自己。它的状态存储在堆栈中，并且代码开始使用新的输入数据再次执行。这个过程一直重复，直到输入小于 2，此时返回 1，并且答案返回给前一个调用者。

例如，调用 fib(5) 会导致以下执行：

fib(5):
    fib(4):
        fib(3):
            fib(2): 1
            fib(1): 1
        fib(2): 1
    fib(3):
        fib(2): 1
        fib(1): 1

请注意，您部分正确。在此解决方案中，中间结果存储在stack 上。这就是递归解决方案如此昂贵的原因之一。另一个是它的O(2^n) 复杂性。但是，如果可以迭代计算 Fibonacci(n) 并且不存储 all 以前的结果。您真正需要的只是将最后一个存储到结果中并从 1 计数到 n。

【讨论】：

没必要仅仅因为他比上一篇慢了 30 秒就给他投票！ +1 顺便说一句：也许将标题更改为更有意义的内容，例如“理解斐波那契数列”并不是一个坏主意。

【解决方案2】：

这是一个递归解决方案。递归函数调用自身，直到满足给定的停止条件。然后每个呼叫退出，直到只剩下第一个呼叫。第一次调用会输出结果。

在您的解决方案中，停止条件是：

if (n <= 2) 
          return 1;

在满足此条件之前，该函数将对其自身进行连续调用。每次调用都会减少作为参数传递的 int。当它达到 2 时，停止条件指示函数返回值 1（fibonacci(n) 中 n=1 和 n=2 的结果）。

因为斐波那契是最后两个数之和，函数的递归部分，

return fib(n-1) + fib(n-2);

求和 n-1 和 n-2 （正如我所说，序列的最后两个数字）。当 n 等于 2 时，这些对函数 fib 的调用最终都会有一个值，并且会被返回。

例如，如果 n = 3，递归部分会调用 fib(2) 和 fib(1)，两者都等于或小于 2，所以两个调用都会返回 1。所以 printf 会打印 1,1,2 . 2 是 1 + 1 的总和（我知道这很明显，但有时说明明显的帮助）。

【讨论】：

【解决方案3】：

这是recursive function 的标准示例。

Fibonacci Numbers 也被声明为递归的。

fib(1) 和 fib(2) 都被声明为 1。所有其他的都是通过添加最后两个斐波那契数来计算的，所以 fib(3)=fib(2)+fib(1)。

将此与执行此操作的计算方法进行比较：

static int fib(int n) {
     if (n <= 2) 
          return 1;

     return fib(n-1) + fib(n-2);
}

顺便说一下，这是一种非常慢的方法来计算斐波那契数，使用两个变量（最后一个不需要所有变量，只需要最后两个！）并且循环在 O(n )，上面的递归函数有 O(2^n) 次操作。

【讨论】：

【解决方案4】：

                           F(n)
                            /    \
                        F(n-1)   F(n-2)
                        /   \     /      \
                    F(n-2) F(n-3) F(n-3)  F(n-4)
                   /    \
                 F(n-3) F(n-4)

需要注意的重要一点是该算法是指数型的，因为它不存储先前计算的数字的结果。例如 F(n-3) 被调用了 3 次。

更多细节请参考 dasgupta 第 0.2 章的算法

【讨论】：