可以在 O(n) 或 O(1) 时间内计算出第 n 个斐波那契数吗？为什么？答案

【问题标题】：Can one compute the nth Fibonacci number in time O(n) or O(1)? Why?可以在 O(n) 或 O(1) 时间内计算出第 n 个斐波那契数吗？为什么？
【发布时间】：2019-10-22 02:15:26
【问题描述】：

我问自己是否可以及时计算出第 n 个斐波那契数 O(n) 或 O(1)，为什么？

谁能解释一下？

【问题讨论】：

表示第n个斐波那契数的位数如何作为n的函数增长？

标签： algorithm time-complexity big-o fibonacci

【解决方案1】：

是的。它被称为Binet's Formula，或者有时，错误地，De Moivre 公式（真正的 De Moivre 公式是 another，但 De Moivre 确实在 Binet 之前发现了 Binet 公式） , 并涉及黄金比例 Phi。这背后的数学推理（见链接）有点复杂，但可行：

虽然它是一个近似公式，但斐波那契数是整数——因此，一旦您达到足够高的精度（取决于 n），您就可以将 Binet 公式中的数字近似为最接近的值整数。

然而，精度取决于常数，所以你基本上有两个版本，一个是浮点数，一个是双精度数，第二个也以恒定时间运行，但速度稍慢。对于大 n，您将需要一个任意精度的数字库，并且它们的处理时间确实取决于所涉及的数字；正如@MattTimmermans 所观察到的，您最终可能会得到一个 O(log^2 n) 算法。这应该发生在足够大的 n 值上，无论如何你都会被大量库困住（但我需要对此进行测试以确定）。

否则，Binet 公式主要由两个取幂和一个除法组成（三个和和除以 2 可能可以忽略不计），而递归公式主要使用函数调用，而迭代公式使用循环。虽然第一个公式是 O(1)，其他两个是 O(n)，但实际时间更像 a、bn + c 和 dn + e，a、b、c、d 和 e 的值取决于硬件、编译器、实现等。对于现代 CPU，a 很可能不会比 b 或 d 大，这意味着 O(1) 公式应该几乎每个 n 都更快。但是迭代算法的大多数实现都以

开头

if (n < 2) {
        return n;
}

对于 n = 0 和 n = 1，这很可能更快。我相信 Binet 的公式对于任何超过个位数的 n 都更快。

【讨论】：

这忽略了计算表达式的值需要多长时间的问题。
因为所需的精度随着 n 的增加而增加，这至少需要 O(log^2 n) 时间。
所以，由于黄金比例，有可能在 O(n) 中？
@Larry 不太...由于斐波那契数列的定义，O(n) 总是可能的（你总是可以从 F(n-1) 和 F(n) 得到 F(n) -2) 在 O(1)) 中。然后，这个特定的表达式可以被重写，并且无论 n 都可以立即求解，因此 O(1)。黄金比例是相同计算的不同结果。
@LSerni 所以下面的语句“可以在 O(n) 时间内计算出第 n 个斐波那契数。”是真的，因为斐波那契数列的定义。

【解决方案2】：

与其考虑递归方法，不如考虑自下而上构建序列，从 1+1 开始。

【讨论】：

有什么区别 - 递归或迭代 - O(N) 在任何一种情况下都应该很明显，对吧？
@BitTickler no 在递归情况下，您正在多次求解一个斐波那契数。看看如果你想计算第四个数字，你应该计算第二个和第三个。但是要计算第三个，就必须计算第二个和第一个。所以第二个数字被计算了两次。
@BitTickler：由于递归案例执行f(n) = f(n-1) + f(n-2)，这意味着每个调用都会额外递归两次，使其呈指数级。
这不回答Can one compute the nth Fibonacci number in time O(n) or O(1)?
@WillemVanOnsem 取决于你如何进行递归。来自斐波那契的 Haskell wiki：haskell Prelude> :{ Prelude| fib :: Int -> Int Prelude| fib n = go n (0,1) Prelude| where Prelude| go n (a,b) | n == 0 = a Prelude| | otherwise = go (n-1) (b, a+b) Prelude| :} 请参阅：wiki.haskell.org/The_Fibonacci_sequence

【解决方案3】：

您也可以像这样使用矩阵m：

1    1
1    0

并计算它的幂n。然后输出m^n[0,0]。

【讨论】：

这不回答Can one compute the nth Fibonacci number in time O(n) or O(1)?
@greybeard 实际上确实如此。求幂矩阵的第 (0,0) 个元素将是第 (n+1) 个斐波那契数。时间复杂度为 O(n)，但您可以使用递归函数（m^n 是 m^n/2 * m^n/2 可选乘以 n 以处理 n 的奇数值），最终得到 O(记录 n)。
@LSerni 没有对位宽增长的说明（greybeard 在他在 OP 下方的第一条评论中提出的问题）我们无法解决复杂性，因为我们不知道基本操作是否是原子 O(1)。