计算非常大阶乘位数的有效方法

Question

假设我们有一个非常大的阶乘，例如 (10^7)!，有没有一种有效的方法来计算它的 exact 位数？ （Wolfram alpha 结果显示 (10^7)！有 65,657060 位）

当然，我不能使用将值逐一乘以的幼稚实现，因为评估结果太慢了。

我认为这个问题的解决方案可能以两种方式结束

1. 如何在不计算阶乘的情况下找到阶乘的数字
2. 如何更有效地计算阶乘（最好使用 BigInteger 或 BigDecimal）

我更喜欢 1. 而不是 2. 因为我只想知道阶乘的位数。 有什么建议吗？

Answer 1

将所有要乘以的数字的对数相加应该可以解决问题：

public long facDigits(long n) {
    double logFacN = 0;
    for (long i = 2; i <= n; i++) {
        logFacN += Math.log10(i);
    }
    return (long) logFacN + 1;
}

public void test() {
    double tenToThe7th = Math.pow(10, 7);
    long digits = facDigits((long) tenToThe7th);
    System.out.println("Digits in " + tenToThe7th + "! = " + digits);
}

打印

Digits in 1.0E7! = 65657060

这里的逻辑是，当你在计算阶乘时乘以 x 时，实际上是在加上 log10(x) 数字所以这里我只是把它们加起来。

Answer 2

@OldCurmudgeon 的解决方案很好，但你可以尝试使用 Kamentsky 的公式：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int numOfTests = Integer.parseInt(in.readLine());

        in.lines()
                .limit(numOfTests)
                .map(n -> Integer.parseInt(n))
                .forEach(n -> System.out.println(KamenetskyFormula(n)));
    }

    private static long KamenetskyFormula(int n) {
        if (n < 2) {
            return 1;
        }
        double x = n * Math.log10(n / Math.E) + Math.log10(2 * Math.PI * n) / 2.0;
        return (long) (Math.floor(x) + 1);
    }
}

连接到Count number of digits in factorial - performance issue