具有非负权重的有向图（邻接矩阵）答案

【问题标题】：Directed graph with non negative weights (adjacency matrix)具有非负权重的有向图（邻接矩阵）
【发布时间】：2015-12-17 19:28:46
【问题描述】：

首先，我为我糟糕的图表绘制道歉。权重显然没有缩放。我很难想出解决一些问题的算法。

首先，我想找到从 C 到 C 需要 3 个“停止”或更少的所有路径（只是一个示例......可以是任意两个顶点）。经过研究，我发现 BFS 可能是我正在寻找解决这个问题的方法。我的假设是否正确？

有 3 站或更少的两条路径：

C -> D -> C

C -> E -> B -> C

我还想找到从 A 到 C 的最短路径（只是一个例子……可以是任意两个顶点）。在做了一点研究之后，我得出了我应该使用 Dijkstra 算法的结论。我在这个假设中正确吗？如果是这样，我看到有各种实现。我使用二进制堆、斐波那契堆还是队列有关系吗？

谢谢，如果您需要更多信息，请告诉我！

【问题讨论】：

标签： java graph dijkstra directed-graph breadth-first-search

【解决方案1】：

首先，我想找到从 C 到 3 个“停止”或更少的所有路径 C（只是一个例子......可以是任何两个顶点）。经过研究，我发现 BFS 可能是我正在寻找解决此问题的方法。是我纠正了这个假设？

是的，你是。 BFS 的特性是按级别顺序处理节点，因此您首先处理与源节点相邻的所有节点，然后处理与源节点相邻的节点等。

我也想找到从 A 到 C 的最短路径（只是一个例子.. 可以是任意两个顶点）。经过一番研究，我来了得出我应该使用 Dijkstra 算法的结论。我对么在这个假设中？如果是这样，我看到有各种实施。如果我使用二进制堆，斐波那契堆，这有关系吗？还是排队？

同样，是的，Dijkstra 算法是解决此类问题的经典解决方案。还有其他算法更适合某些特殊情况（例如，如果您的图表中有负权重，则使用 Bellman-Ford），但在大多数情况下（您的情况也是如此），请使用 Dijkstra。关于实现，理论上最好的实现是基于斐波那契堆实现的最小优先级队列。此实现的运行时间为O(|E|+|V|/log|V|)（其中|V| 是顶点数，|E| 是边数）。然而，在实践中，二叉堆的性能通常优于斐波那契堆，请参阅this interesting thread 了解更多信息。

【讨论】：

这是查找“从 C 到 C”的所有路径的正确方法吗？每次我们找到到 C 的“后沿”时，从 C 开始 DFS 并输出路径？
@mangusta 不确定。 DFS 与 BFS 非常相似，是一种用于图遍历的算法，而不是用于查找所有路径的算法。但是，如果您引入对路径长度的约束，则可以避免将节点标记为已访问，从而找到一定长度的所有路径。如果没有该约束并且没有将节点标记为已访问，您将陷入无限循环。
@mangusta 我对此进行了更多思考。使用 DFS 是可能的，但是为了获取所有路径，您必须在递归调用之后从访问列表中删除节点。