尝试反转 24x24 矩阵时出现 Sympy 死锁/无限挂起

【问题标题】：Sympy deadlock / infinite hanging when trying to invert a 24x24 matrix尝试反转 24x24 矩阵时出现 Sympy 死锁/无限挂起
【发布时间】：2021-10-11 17:45:45
【问题描述】：

我有以下 24x24 方阵 H，它有一个非 0 确定值：

Matrix([
[ 1.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -R5, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0,  1.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -R4,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 1.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -R11, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  1.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, -R9, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  1.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, -R7,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 1.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0, -R10, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  1.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, -R8, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, -R6,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  -R3,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  -R2,  0.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  -R1,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  -R0],
[-1.0,  0.0, 1.0, -1.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0, -1.0, 0.0,  1.0, -1.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[-1.0,  0.0, 1.0, -1.0,  0.0, 1.0, -1.0,  0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0, -1.0, 0.0,  1.0, -1.0, 0.0,  1.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  1.0,  0.0,  1.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  1.0,  0.0,  1.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  1.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0, -1.0,  0.0, -1.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 1.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  1.0, -1.0,  1.0, -1.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 1.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0,  1.0,  0.0,  1.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  1.0, 0.0, 0.0,  0.0,  0.0, -1.0,  0.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 1.0, 0.0,  0.0,  0.0,  1.0, -1.0],
[ 0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0,  0.0,  0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 0.0,  0.0, 0.0, 1.0,  0.0,  0.0,  0.0,  1.0]])

每当我尝试计算 H.inv() 以获得矩阵的逆时，python 就会无限挂起。它不会崩溃，也不会返回错误。

使用 sympy.inverse(H) 返回 H**-1 （因为它返回完整的未反转矩阵并在末尾添加 **-1），但是如果我尝试将此矩阵乘以另一个矩阵，例如，一个列向量，我又得到了同样的无限悬挂。

这是什么原因？ sympy 不能处理这么大的矩阵还是原始矩阵 H 有问题？

【问题讨论】：

  • @JohanC 是的，我确实尝试过使用整数并得到了相同的结果。我假设这是因为矩阵中的代数项，这对于 smypy / python 来说是否需要处理太多的计算？
  • @JohanC 我让实例在夜间运行了 12 个小时，以澄清它确实是一个挂起，而不仅仅是花费了很长时间。我的 CPU 相当快（9700k @ 4.5GHz），所以我认为如果它没有在 12 小时内完成它，它永远不会。我尝试过使用类似的较小矩阵，这些矩阵运行良好，并且在相对较短的时间（
  • 是否可以估计分母、行列式的大小？在答案中，我看到许多术语是 12 个符号的大小为 4 的组合。在数字解决方案中，它们会减少一个数字，但在这个符号版本中，随着矩阵形状和符号数量的增加，它会变得更大。

标签： python-3.x matrix sympy matrix-multiplication


【解决方案1】：

在 SymPy 中，像这样计算矩阵的逆矩阵很快就会变得更快。我有一个可以在 24 秒内反转它的实现，但也可以改进。正如 cmets 中所建议的，使用整数/有理数的新实现通常比浮点数更快。

这需要很长时间，部分原因是 sympy 可以提高效率，但也因为即使矩阵本身看起来很简单，答案也很复杂。事实上，我只是试图在这里发布答案，但 SO 说

Body is limited to 30000 chars; you entered 2691249

所以这里显示太复杂了。

相反，我将只显示逆矩阵的左上角：

In [23]: ok[0, 0]
Out[23]: 
                                                                                                                                                            
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
R₀⋅R₁⋅R₁₁⋅R₂ + R₀⋅R₁⋅R₁₁⋅R₄ + R₀⋅R₁⋅R₁₁⋅R₇ + R₀⋅R₁⋅R₁₁⋅R₉ + R₀⋅R₁⋅R₂⋅R₃ + R₀⋅R₁⋅R₂⋅R₅ + R₀⋅R₁⋅R₂⋅R₉ + R₀⋅R₁⋅R₃⋅R₄ + R₀⋅R₁⋅R₃⋅R₇ + R₀⋅R₁⋅R₃⋅R₉ + R₀⋅R₁⋅R₄⋅R₅ 

                                                                                                                                                            
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
+ R₀⋅R₁⋅R₄⋅R₉ + R₀⋅R₁⋅R₅⋅R₇ + R₀⋅R₁⋅R₅⋅R₉ + R₀⋅R₁⋅R₇⋅R₉ + R₀⋅R₁₀⋅R₁₁⋅R₂ + R₀⋅R₁₀⋅R₁₁⋅R₄ + R₀⋅R₁₀⋅R₁₁⋅R₇ + R₀⋅R₁₀⋅R₁₁⋅R₉ + R₀⋅R₁₀⋅R₂⋅R₃ + R₀⋅R₁₀⋅R₂⋅R₅ + R₀⋅R

                                                                                        R₀⋅R₁⋅R₁₁⋅R₂ + R₀⋅R₁⋅R₁₁⋅R₄ + R₀⋅R₁⋅R₁₁⋅R₇ + R₀⋅R₁⋅R₁₁⋅R₉ + R₀⋅R₁⋅R₂
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₁₀⋅R₂⋅R₉ + R₀⋅R₁₀⋅R₃⋅R₄ + R₀⋅R₁₀⋅R₃⋅R₇ + R₀⋅R₁₀⋅R₃⋅R₉ + R₀⋅R₁₀⋅R₄⋅R₅ + R₀⋅R₁₀⋅R₄⋅R₉ + R₀⋅R₁₀⋅R₅⋅R₇ + R₀⋅R₁₀⋅R₅⋅R₉ + R₀⋅R₁₀⋅R₇⋅R₉ + R₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₃ + R₀⋅R₁₁⋅R₂⋅

⋅R₃ + R₀⋅R₁⋅R₂⋅R₉ + R₀⋅R₁⋅R₃⋅R₄ + R₀⋅R₁⋅R₃⋅R₇ + R₀⋅R₁⋅R₃⋅R₉ + R₀⋅R₁⋅R₄⋅R₉ + R₀⋅R₁⋅R₇⋅R₉ + R₀⋅R₁₀⋅R₁₁⋅R₂ + R₀⋅R₁₀⋅R₁₁⋅R₄ + R₀⋅R₁₀⋅R₁₁⋅R₇ + R₀⋅R₁₀⋅R₁₁⋅R₉ + R₀
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
R₈ + R₀⋅R₁₁⋅R₃⋅R₄ + R₀⋅R₁₁⋅R₃⋅R₇ + R₀⋅R₁₁⋅R₃⋅R₉ + R₀⋅R₁₁⋅R₄⋅R₈ + R₀⋅R₁₁⋅R₇⋅R₈ + R₀⋅R₁₁⋅R₈⋅R₉ + R₀⋅R₂⋅R₃⋅R₅ + R₀⋅R₂⋅R₃⋅R₈ + R₀⋅R₂⋅R₃⋅R₉ + R₀⋅R₂⋅R₅⋅R₈ + R₀⋅R₂

⋅R₁₀⋅R₂⋅R₃ + R₀⋅R₁₀⋅R₂⋅R₉ + R₀⋅R₁₀⋅R₃⋅R₄ + R₀⋅R₁₀⋅R₃⋅R₇ + R₀⋅R₁₀⋅R₃⋅R₉ + R₀⋅R₁₀⋅R₄⋅R₉ + R₀⋅R₁₀⋅R₇⋅R₉ + R₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₃ + R₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₈ + R₀⋅R₁₁⋅R₃⋅R₄ + R₀⋅R₁₁⋅R
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⋅R₈⋅R₉ + R₀⋅R₃⋅R₄⋅R₅ + R₀⋅R₃⋅R₄⋅R₈ + R₀⋅R₃⋅R₄⋅R₉ + R₀⋅R₃⋅R₅⋅R₇ + R₀⋅R₃⋅R₅⋅R₉ + R₀⋅R₃⋅R₇⋅R₈ + R₀⋅R₃⋅R₇⋅R₉ + R₀⋅R₃⋅R₈⋅R₉ + R₀⋅R₄⋅R₅⋅R₈ + R₀⋅R₄⋅R₈⋅R₉ + R₀⋅R₅⋅R

₃⋅R₇ + R₀⋅R₁₁⋅R₃⋅R₉ + R₀⋅R₁₁⋅R₄⋅R₈ + R₀⋅R₁₁⋅R₇⋅R₈ + R₀⋅R₁₁⋅R₈⋅R₉ + R₀⋅R₂⋅R₃⋅R₈ + R₀⋅R₂⋅R₃⋅R₉ + R₀⋅R₂⋅R₈⋅R₉ + R₀⋅R₃⋅R₄⋅R₈ + R₀⋅R₃⋅R₄⋅R₉ + R₀⋅R₃⋅R₇⋅R₈ + R₀⋅R₃
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₇⋅R₈ + R₀⋅R₅⋅R₈⋅R₉ + R₀⋅R₇⋅R₈⋅R₉ + R₁⋅R₁₁⋅R₂⋅R₄ + R₁⋅R₁₁⋅R₂⋅R₆ + R₁⋅R₁₁⋅R₂⋅R₇ + R₁⋅R₁₁⋅R₂⋅R₈ + R₁⋅R₁₁⋅R₂⋅R₉ + R₁⋅R₁₁⋅R₄⋅R₆ + R₁⋅R₁₁⋅R₄⋅R₈ + R₁⋅R₁₁⋅R₆⋅R₇ + R

⋅R₇⋅R₉ + R₀⋅R₃⋅R₈⋅R₉ + R₀⋅R₄⋅R₈⋅R₉ + R₀⋅R₇⋅R₈⋅R₉ + R₁⋅R₁₁⋅R₂⋅R₄ + R₁⋅R₁₁⋅R₂⋅R₆ + R₁⋅R₁₁⋅R₂⋅R₇ + R₁⋅R₁₁⋅R₂⋅R₈ + R₁⋅R₁₁⋅R₂⋅R₉ + R₁⋅R₁₁⋅R₄⋅R₆ + R₁⋅R₁₁⋅R₄⋅R₈ + 
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₁⋅R₁₁⋅R₆⋅R₉ + R₁⋅R₁₁⋅R₇⋅R₈ + R₁⋅R₁₁⋅R₈⋅R₉ + R₁⋅R₂⋅R₃⋅R₄ + R₁⋅R₂⋅R₃⋅R₆ + R₁⋅R₂⋅R₃⋅R₇ + R₁⋅R₂⋅R₃⋅R₈ + R₁⋅R₂⋅R₃⋅R₉ + R₁⋅R₂⋅R₄⋅R₅ + R₁⋅R₂⋅R₄⋅R₉ + R₁⋅R₂⋅R₅⋅R₆ + 

R₁⋅R₁₁⋅R₆⋅R₇ + R₁⋅R₁₁⋅R₆⋅R₉ + R₁⋅R₁₁⋅R₇⋅R₈ + R₁⋅R₁₁⋅R₈⋅R₉ + R₁⋅R₂⋅R₃⋅R₄ + R₁⋅R₂⋅R₃⋅R₆ + R₁⋅R₂⋅R₃⋅R₇ + R₁⋅R₂⋅R₃⋅R₈ + R₁⋅R₂⋅R₃⋅R₉ + R₁⋅R₂⋅R₄⋅R₉ + R₁⋅R₂⋅R₆⋅R₉ 
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
R₁⋅R₂⋅R₅⋅R₇ + R₁⋅R₂⋅R₅⋅R₈ + R₁⋅R₂⋅R₅⋅R₉ + R₁⋅R₂⋅R₆⋅R₉ + R₁⋅R₂⋅R₇⋅R₉ + R₁⋅R₂⋅R₈⋅R₉ + R₁⋅R₃⋅R₄⋅R₆ + R₁⋅R₃⋅R₄⋅R₈ + R₁⋅R₃⋅R₆⋅R₇ + R₁⋅R₃⋅R₆⋅R₉ + R₁⋅R₃⋅R₇⋅R₈ + R₁

+ R₁⋅R₂⋅R₇⋅R₉ + R₁⋅R₂⋅R₈⋅R₉ + R₁⋅R₃⋅R₄⋅R₆ + R₁⋅R₃⋅R₄⋅R₈ + R₁⋅R₃⋅R₆⋅R₇ + R₁⋅R₃⋅R₆⋅R₉ + R₁⋅R₃⋅R₇⋅R₈ + R₁⋅R₃⋅R₈⋅R₉ + R₁⋅R₄⋅R₆⋅R₉ + R₁⋅R₄⋅R₈⋅R₉ + R₁⋅R₆⋅R₇⋅R₉ + 
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⋅R₃⋅R₈⋅R₉ + R₁⋅R₄⋅R₅⋅R₆ + R₁⋅R₄⋅R₅⋅R₈ + R₁⋅R₄⋅R₆⋅R₉ + R₁⋅R₄⋅R₈⋅R₉ + R₁⋅R₅⋅R₆⋅R₇ + R₁⋅R₅⋅R₆⋅R₉ + R₁⋅R₅⋅R₇⋅R₈ + R₁⋅R₅⋅R₈⋅R₉ + R₁⋅R₆⋅R₇⋅R₉ + R₁⋅R₇⋅R₈⋅R₉ + R₁₀⋅

R₁⋅R₇⋅R₈⋅R₉ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₄ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₆ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₇ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₈ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₉ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₄⋅R₆ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₄⋅R₈ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₆⋅R₇ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₆⋅R₉ 
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
R₁₁⋅R₂⋅R₄ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₆ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₇ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₈ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₂⋅R₉ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₄⋅R₆ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₄⋅R₈ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₆⋅R₇ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₆⋅R₉ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₇⋅R₈ + 

+ R₁₀⋅R₁₁⋅R₇⋅R₈ + R₁₀⋅R₁₁⋅R₈⋅R₉ + R₁₀⋅R₂⋅R₃⋅R₄ + R₁₀⋅R₂⋅R₃⋅R₆ + R₁₀⋅R₂⋅R₃⋅R₇ + R₁₀⋅R₂⋅R₃⋅R₈ + R₁₀⋅R₂⋅R₃⋅R₉ + R₁₀⋅R₂⋅R₄⋅R₉ + R₁₀⋅R₂⋅R₆⋅R₉ + R₁₀⋅R₂⋅R₇⋅R₉ + R₁
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
R₁₀⋅R₁₁⋅R₈⋅R₉ + R₁₀⋅R₂⋅R₃⋅R₄ + R₁₀⋅R₂⋅R₃⋅R₆ + R₁₀⋅R₂⋅R₃⋅R₇ + R₁₀⋅R₂⋅R₃⋅R₈ + R₁₀⋅R₂⋅R₃⋅R₉ + R₁₀⋅R₂⋅R₄⋅R₅ + R₁₀⋅R₂⋅R₄⋅R₉ + R₁₀⋅R₂⋅R₅⋅R₆ + R₁₀⋅R₂⋅R₅⋅R₇ + R₁₀⋅R

₀⋅R₂⋅R₈⋅R₉ + R₁₀⋅R₃⋅R₄⋅R₆ + R₁₀⋅R₃⋅R₄⋅R₈ + R₁₀⋅R₃⋅R₆⋅R₇ + R₁₀⋅R₃⋅R₆⋅R₉ + R₁₀⋅R₃⋅R₇⋅R₈ + R₁₀⋅R₃⋅R₈⋅R₉ + R₁₀⋅R₄⋅R₆⋅R₉ + R₁₀⋅R₄⋅R₈⋅R₉ + R₁₀⋅R₆⋅R₇⋅R₉ + R₁₀⋅R₇⋅R
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₂⋅R₅⋅R₈ + R₁₀⋅R₂⋅R₅⋅R₉ + R₁₀⋅R₂⋅R₆⋅R₉ + R₁₀⋅R₂⋅R₇⋅R₉ + R₁₀⋅R₂⋅R₈⋅R₉ + R₁₀⋅R₃⋅R₄⋅R₆ + R₁₀⋅R₃⋅R₄⋅R₈ + R₁₀⋅R₃⋅R₆⋅R₇ + R₁₀⋅R₃⋅R₆⋅R₉ + R₁₀⋅R₃⋅R₇⋅R₈ + R₁₀⋅R₃⋅R₈⋅R

₈⋅R₉ + R₁₁⋅R₂⋅R₃⋅R₄ + R₁₁⋅R₂⋅R₃⋅R₆ + R₁₁⋅R₂⋅R₃⋅R₇ + R₁₁⋅R₂⋅R₃⋅R₈ + R₁₁⋅R₂⋅R₃⋅R₉ + R₁₁⋅R₂⋅R₄⋅R₈ + R₁₁⋅R₂⋅R₆⋅R₈ + R₁₁⋅R₂⋅R₇⋅R₈ + R₁₁⋅R₂⋅R₈⋅R₉ + R₁₁⋅R₃⋅R₄⋅R₆ +
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₉ + R₁₀⋅R₄⋅R₅⋅R₆ + R₁₀⋅R₄⋅R₅⋅R₈ + R₁₀⋅R₄⋅R₆⋅R₉ + R₁₀⋅R₄⋅R₈⋅R₉ + R₁₀⋅R₅⋅R₆⋅R₇ + R₁₀⋅R₅⋅R₆⋅R₉ + R₁₀⋅R₅⋅R₇⋅R₈ + R₁₀⋅R₅⋅R₈⋅R₉ + R₁₀⋅R₆⋅R₇⋅R₉ + R₁₀⋅R₇⋅R₈⋅R₉ + R₁

 R₁₁⋅R₃⋅R₄⋅R₈ + R₁₁⋅R₃⋅R₆⋅R₇ + R₁₁⋅R₃⋅R₆⋅R₉ + R₁₁⋅R₃⋅R₇⋅R₈ + R₁₁⋅R₃⋅R₈⋅R₉ + R₁₁⋅R₄⋅R₆⋅R₈ + R₁₁⋅R₆⋅R₇⋅R₈ + R₁₁⋅R₆⋅R₈⋅R₉ + R₂⋅R₃⋅R₄⋅R₈ + R₂⋅R₃⋅R₄⋅R₉ + R₂⋅R₃⋅R
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₁⋅R₂⋅R₃⋅R₄ + R₁₁⋅R₂⋅R₃⋅R₆ + R₁₁⋅R₂⋅R₃⋅R₇ + R₁₁⋅R₂⋅R₃⋅R₈ + R₁₁⋅R₂⋅R₃⋅R₉ + R₁₁⋅R₂⋅R₄⋅R₈ + R₁₁⋅R₂⋅R₆⋅R₈ + R₁₁⋅R₂⋅R₇⋅R₈ + R₁₁⋅R₂⋅R₈⋅R₉ + R₁₁⋅R₃⋅R₄⋅R₆ + R₁₁⋅R₃⋅R

₆⋅R₈ + R₂⋅R₃⋅R₆⋅R₉ + R₂⋅R₃⋅R₇⋅R₈ + R₂⋅R₃⋅R₇⋅R₉ + R₂⋅R₄⋅R₈⋅R₉ + R₂⋅R₆⋅R₈⋅R₉ + R₂⋅R₇⋅R₈⋅R₉ + R₃⋅R₄⋅R₆⋅R₈ + R₃⋅R₄⋅R₆⋅R₉ + R₃⋅R₄⋅R₈⋅R₉ + R₃⋅R₆⋅R₇⋅R₈ + R₃⋅R₆⋅R₇⋅
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₄⋅R₈ + R₁₁⋅R₃⋅R₆⋅R₇ + R₁₁⋅R₃⋅R₆⋅R₉ + R₁₁⋅R₃⋅R₇⋅R₈ + R₁₁⋅R₃⋅R₈⋅R₉ + R₁₁⋅R₄⋅R₆⋅R₈ + R₁₁⋅R₆⋅R₇⋅R₈ + R₁₁⋅R₆⋅R₈⋅R₉ + R₂⋅R₃⋅R₄⋅R₅ + R₂⋅R₃⋅R₄⋅R₈ + R₂⋅R₃⋅R₄⋅R₉ + R₂

R₉ + R₃⋅R₆⋅R₈⋅R₉ + R₃⋅R₇⋅R₈⋅R₉ + R₄⋅R₆⋅R₈⋅R₉ + R₆⋅R₇⋅R₈⋅R₉                                                                                                  
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⋅R₃⋅R₅⋅R₆ + R₂⋅R₃⋅R₅⋅R₇ + R₂⋅R₃⋅R₅⋅R₈ + R₂⋅R₃⋅R₅⋅R₉ + R₂⋅R₃⋅R₆⋅R₈ + R₂⋅R₃⋅R₆⋅R₉ + R₂⋅R₃⋅R₇⋅R₈ + R₂⋅R₃⋅R₇⋅R₉ + R₂⋅R₄⋅R₅⋅R₈ + R₂⋅R₄⋅R₈⋅R₉ + R₂⋅R₅⋅R₆⋅R₈ + R₂⋅R

                                                                                                                                                            
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₅⋅R₇⋅R₈ + R₂⋅R₅⋅R₈⋅R₉ + R₂⋅R₆⋅R₈⋅R₉ + R₂⋅R₇⋅R₈⋅R₉ + R₃⋅R₄⋅R₅⋅R₆ + R₃⋅R₄⋅R₅⋅R₈ + R₃⋅R₄⋅R₆⋅R₈ + R₃⋅R₄⋅R₆⋅R₉ + R₃⋅R₄⋅R₈⋅R₉ + R₃⋅R₅⋅R₆⋅R₇ + R₃⋅R₅⋅R₆⋅R₉ + R₃⋅R₅⋅

                                                                                                                                                 
─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
R₇⋅R₈ + R₃⋅R₅⋅R₈⋅R₉ + R₃⋅R₆⋅R₇⋅R₈ + R₃⋅R₆⋅R₇⋅R₉ + R₃⋅R₆⋅R₈⋅R₉ + R₃⋅R₇⋅R₈⋅R₉ + R₄⋅R₅⋅R₆⋅R₈ + R₄⋅R₆⋅R₈⋅R₉ + R₅⋅R₆⋅R₇⋅R₈ + R₅⋅R₆⋅R₈⋅R₉ + R₆⋅R₇⋅R₈⋅R₉

【讨论】：

  • 哇。如果将公共子表达式存储在单独的变量中，输出会更简单吗？还是会有太多子表达式无法管理？
  • 感谢您的回复，这很有趣。请问，您是否积极参与 SymPy 的开发？我问，因为我的问题的起源来自我目前正在撰写的论文的一部分，作为我的研究的一部分，这将是添加的有用参考
  • 我是 sympy 的维护者。我刚刚在 github 上发布了用于此的代码：github.com/sympy/sympy/issues/21834
  • 我不确定有多少公共子表达式，但我用于此的实现使用稀疏多元多项式表示，因此它不同于普通的 sympy 表达式。当前的 Matrix.inv 方法使用普通的 sympy 表达式，这些表达式具有树表示，因此部分速度较慢。 docs.sympy.org/latest/modules/polys/…
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