比较排序 - 理论

Question

谁能给我解释一下这个问题的解决方法？

假设你有一个 n 个元素的序列来排序。输入序列 由 n=k 个子序列组成，每个子序列包含 k 个元素。给定的元素 子序列都小于后续子序列中的元素，并且 大于前面子序列中的元素。因此，所有需要 对长度n的整个序列进行排序，就是对n=k中的每一个k个元素进行排序 子序列。显示比较次数的 n lg k 下限 需要解决排序问题的这种变体。

解决方案：

令 S 为 n 个元素的序列，这些元素分为 n/k 个子序列，每个子序列的长度为 k 其中任何子序列中的所有元素都大于所有元素 前一个子序列的元素，并且小于后一个子序列的所有元素 子序列。

声明

任何基于比较的排序算法对 S 进行排序都必须花费 (n lg k) 时间 最坏的情况。

证明

首先请注意，正如提示中所指出的，我们无法证明较低的 通过将排序每个子序列的下限相乘来绑定。 那只会证明没有更快的算法对子序列进行排序 独立。这不是我们被要求证明的；我们不能介绍任何 额外的假设。

现在，考虑 S 的任何比较排序的高度为 h 的决策树。因为 每个子序列的元素可以是任意顺序，任意 k! 排列 对应于子序列的最终排序顺序。而且，既然有 n/k 这样的 子序列，每个子序列可以是任意顺序，有 (k!)^n/k 个排列 的 S 可能对应于某些输入顺序的排序。因此，任何决定 用于排序 S 的树必须至少有 (k!)^n/k 个叶子。由于高度为 h 的二叉树 有不超过 2^h 个叶子，我们必须有 2^h ≥ (k!)^(n/k) 或 h ≥ lg((k !)^n/k)。我们 因此获得

     h ≥ lg((k!)^n/k)          -- unbalanced parens - final one added?
       = (n/k) lg(k!)
       ≥ (n/k) lg((k/2)^k/2)
       = (n/2) lg(k/2)

第三行来自 k!，它的 k/2 个最大项至少各有 k/2 个。 （我们在这里隐含假设 k 是偶数。我们可以调整地板和天花板 如果 k 是奇数。）

因为在任何决策树中至少存在一条路径用于对具有长度的 S 进行排序 至少 (n/2) lg(k/2)，任何基于比较的排序的最坏情况运行时间 S 的算法是 (n lg k)。

有人可以指导我完成代码块中的步骤吗？尤其是当lg k!变成lg((k/2)^k/2)的那一步。

Answer 1

我转载了下面的数学：

(1)      h ≥ lg(k!^n/k)

(2)      = (n/k) lg(k!)

(3)      ≥ (n/k) lg((k/2)^k/2)

(4)      = (n/2) lg(k/2)

让我们来看看这个。从第 (1) 行到第 (2) 行使用对数的性质。类似地，从第 (3) 行到第 (4) 行使用对数的性质和 (n / k)(k / 2) = (n / 2) 的事实。所以技巧步骤是从第 (2) 行到第 (3) 行。

这里的声明如下：

对于所有 k，k！ ≥ (k / 2)^{(k / 2)}

直觉上，思路如下。考虑k！ = k(k - 1)(k - 2)...(2)(1)。如果您会注意到，这些术语中有一半大于 k / 2，而其中一半小于。如果我们删除所有小于 k 的项，我们会得到（接近）以下内容：

k！ ≥ k(k - 1)(k - 2)...(k / 2)

现在，我们有 k / 2 ≥ k，所以我们有这个

k！ ≥ k(k - 1)(k - 2)...(k / 2) ≥ (k/2)(k/2)...(k/2)

这是 (k / 2) 与自身 (k / 2) 次的乘积，因此它等于 (k / 2)^k/2。这个数学并不精确，因为奇数和偶数的逻辑有点不同，但基本上使用这个想法，您可以得到早期结果证明的草图。

总结一下：从（1）到（2）和从（3）到（4）使用对数的性质，从（2）到（3）使用上述结果。

希望这会有所帮助！