Fortran 90 中的普朗克函数答案

【问题标题】：Planck's function in Fortran 90Fortran 90 中的普朗克函数
【发布时间】：2020-05-31 06:38:30
【问题描述】：

我有以下 Fortran 90 函数的公式，用于查找给定波长和温度下的光谱辐射度。我已经表达为：

intensity = (2.0d0*h*nu**(3.0d0))/c**(2.0d0) * 1d0 / (EXP((h*nu)/(k*T))-1d0)

我将波长作为参数，然后将其转换为 nu。由于我的波长趋于无穷大，Fortran 开始说强度是无限的，返回 Inf。然而，随着波长趋于无穷大，普朗克函数收敛到 0。这是为什么呢？

我的理论是，也许由于 nu = c/lambda，因为 lambda 趋于无穷大，所以函数的一部分除以 0，所以它趋于无穷大。然而，波长也有一个 -5 幂律，这意味着总体上保持函数收敛于 0，但 Fortran 的计算似乎并非如此。为什么是这样？怎么了？它本质上是说零次Inf 是Inf.

为了记录，我认为在这里提交我的代码块并不重要——这是一个练习的一部分，这个问题是要出现的，所以我知道我的代码没有出现故障。

【问题讨论】：

我认为 Stack Exchange“数学”可能更适合这个。
我不同意。从数学上讲，这个函数应该收敛到 0，但不是专门针对 FORTRAN。
语言名称是 Fortran。自 1990 年以来，它一直没有拼写为 FORTRAN。为什么在分子中乘以 1d0？你为什么使用REAL-valued 指数。这可能是您的问题，因为 nu**(3.d0) 可能被评估为 exp(3.d0*log(nu))。
"作为记录，我不认为在这里提交我的代码块很重要——这是一个练习的一部分，这个问题是要出现的，所以我知道我的代码不是故障。”所以你想让我们解决你的作业吗？但即使没有完整的 MWE，也很难说出为什么函数会发散
您可能有兴趣使用this method to compute exp(x) - 1

标签： function fortran infinity

【解决方案1】：

我认为这是因为对于非常小的 x（参见 Loss of significance），分母中的 exp(x) - 1 恰好变为 0（双精度），而对于相同的 x，分子保持非零。

program main
    implicit none
    integer, parameter :: dp = kind(0.0d0)
    real(dp) :: nu, h, kT, ana, lim, numer, denom, expfac

    h = 0.8d0; kT = 1.2d0

    nu = 1.0d0
    do while ( nu > 1.0d-20 )

        expfac = exp((h * nu) / kT)
        numer = 2.0d0 * h * nu**3   ! (nu**3.0d0 also works but nu**3 is recommended)
        denom = expfac - 1.0d0

        !! Intensity (analytical & limiting expressions).
        ana = numer / denom
        lim = 2.0d0 * nu**2 * kT   !! use exp(x) ~ 1 + x

        print "(5(2x,a,es9.2),2x,a,es24.17)", &
                "nu=", nu, "ana=", ana, "lim=", lim, &
                "numer=", numer, "denom=", denom, "exp=", expfac

        nu = nu / 2.0d0
    enddo
end

结果（gfortran-9）

  nu= 1.00E+00  ana= 1.69E+00  lim= 2.40E+00  numer= 1.60E+00  denom= 9.48E-01  exp= 1.94773404105467596E+00
  nu= 5.00E-01  ana= 5.06E-01  lim= 6.00E-01  numer= 2.00E-01  denom= 3.96E-01  exp= 1.39561242508608951E+00
  nu= 2.50E-01  ana= 1.38E-01  lim= 1.50E-01  numer= 2.50E-02  denom= 1.81E-01  exp= 1.18136041286564608E+00
  nu= 1.25E-01  ana= 3.60E-02  lim= 3.75E-02  numer= 3.13E-03  denom= 8.69E-02  exp= 1.08690404952122899E+00
  nu= 6.25E-02  ana= 9.18E-03  lim= 9.37E-03  numer= 3.91E-04  denom= 4.25E-02  exp= 1.04254690518999138E+00
  nu= 3.12E-02  ana= 2.32E-03  lim= 2.34E-03  numer= 4.88E-05  denom= 2.11E-02  exp= 1.02105186214510746E+00
  nu= 1.56E-02  ana= 5.83E-04  lim= 5.86E-04  numer= 6.10E-06  denom= 1.05E-02  exp= 1.01047110901059778E+00
  nu= 7.81E-03  ana= 1.46E-04  lim= 1.46E-04  numer= 7.63E-07  denom= 5.22E-03  exp= 1.00522192027959556E+00
  nu= 3.91E-03  ana= 3.66E-05  lim= 3.66E-05  numer= 9.54E-08  denom= 2.61E-03  exp= 1.00260756045403721E+00
  nu= 1.95E-03  ana= 9.15E-06  lim= 9.16E-06  numer= 1.19E-08  denom= 1.30E-03  exp= 1.00130293141188642E+00
  nu= 9.77E-04  ana= 2.29E-06  lim= 2.29E-06  numer= 1.49E-09  denom= 6.51E-04  exp= 1.00065125364029117E+00
  nu= 4.88E-04  ana= 5.72E-07  lim= 5.72E-07  numer= 1.86E-10  denom= 3.26E-04  exp= 1.00032557382098908E+00
  nu= 2.44E-04  ana= 1.43E-07  lim= 1.43E-07  numer= 2.33E-11  denom= 1.63E-04  exp= 1.00016277366286199E+00
  nu= 1.22E-04  ana= 3.58E-08  lim= 3.58E-08  numer= 2.91E-12  denom= 8.14E-05  exp= 1.00008138351979237E+00
  nu= 6.10E-05  ana= 8.94E-09  lim= 8.94E-09  numer= 3.64E-13  denom= 4.07E-05  exp= 1.00004069093202008E+00
  nu= 3.05E-05  ana= 2.24E-09  lim= 2.24E-09  numer= 4.55E-14  denom= 2.03E-05  exp= 1.00002034525904526E+00
  nu= 1.53E-05  ana= 5.59E-10  lim= 5.59E-10  numer= 5.68E-15  denom= 1.02E-05  exp= 1.00001017257778191E+00
  nu= 7.63E-06  ana= 1.40E-10  lim= 1.40E-10  numer= 7.11E-16  denom= 5.09E-06  exp= 1.00000508627595597E+00
  nu= 3.81E-06  ana= 3.49E-11  lim= 3.49E-11  numer= 8.88E-17  denom= 2.54E-06  exp= 1.00000254313474413E+00
  nu= 1.91E-06  ana= 8.73E-12  lim= 8.73E-12  numer= 1.11E-17  denom= 1.27E-06  exp= 1.00000127156656360E+00
  nu= 9.54E-07  ana= 2.18E-12  lim= 2.18E-12  numer= 1.39E-18  denom= 6.36E-07  exp= 1.00000063578307974E+00
  nu= 4.77E-07  ana= 5.46E-13  lim= 5.46E-13  numer= 1.73E-19  denom= 3.18E-07  exp= 1.00000031789148935E+00
  nu= 2.38E-07  ana= 1.36E-13  lim= 1.36E-13  numer= 2.17E-20  denom= 1.59E-07  exp= 1.00000015894573213E+00
  nu= 1.19E-07  ana= 3.41E-14  lim= 3.41E-14  numer= 2.71E-21  denom= 7.95E-08  exp= 1.00000007947286296E+00
  nu= 5.96E-08  ana= 8.53E-15  lim= 8.53E-15  numer= 3.39E-22  denom= 3.97E-08  exp= 1.00000003973643059E+00
  nu= 2.98E-08  ana= 2.13E-15  lim= 2.13E-15  numer= 4.24E-23  denom= 1.99E-08  exp= 1.00000001986821507E+00
  nu= 1.49E-08  ana= 5.33E-16  lim= 5.33E-16  numer= 5.29E-24  denom= 9.93E-09  exp= 1.00000000993410754E+00
  nu= 7.45E-09  ana= 1.33E-16  lim= 1.33E-16  numer= 6.62E-25  denom= 4.97E-09  exp= 1.00000000496705366E+00
  nu= 3.73E-09  ana= 3.33E-17  lim= 3.33E-17  numer= 8.27E-26  denom= 2.48E-09  exp= 1.00000000248352694E+00
  nu= 1.86E-09  ana= 8.33E-18  lim= 8.33E-18  numer= 1.03E-26  denom= 1.24E-09  exp= 1.00000000124176336E+00
  nu= 9.31E-10  ana= 2.08E-18  lim= 2.08E-18  numer= 1.29E-27  denom= 6.21E-10  exp= 1.00000000062088179E+00
  nu= 4.66E-10  ana= 5.20E-19  lim= 5.20E-19  numer= 1.62E-28  denom= 3.10E-10  exp= 1.00000000031044078E+00
  nu= 2.33E-10  ana= 1.30E-19  lim= 1.30E-19  numer= 2.02E-29  denom= 1.55E-10  exp= 1.00000000015522050E+00
  nu= 1.16E-10  ana= 3.25E-20  lim= 3.25E-20  numer= 2.52E-30  denom= 7.76E-11  exp= 1.00000000007761014E+00
  nu= 5.82E-11  ana= 8.13E-21  lim= 8.13E-21  numer= 3.16E-31  denom= 3.88E-11  exp= 1.00000000003880518E+00
  nu= 2.91E-11  ana= 2.03E-21  lim= 2.03E-21  numer= 3.94E-32  denom= 1.94E-11  exp= 1.00000000001940248E+00
  nu= 1.46E-11  ana= 5.08E-22  lim= 5.08E-22  numer= 4.93E-33  denom= 9.70E-12  exp= 1.00000000000970135E+00
  nu= 7.28E-12  ana= 1.27E-22  lim= 1.27E-22  numer= 6.16E-34  denom= 4.85E-12  exp= 1.00000000000485056E+00
  nu= 3.64E-12  ana= 3.18E-23  lim= 3.18E-23  numer= 7.70E-35  denom= 2.43E-12  exp= 1.00000000000242539E+00
  nu= 1.82E-12  ana= 7.94E-24  lim= 7.94E-24  numer= 9.63E-36  denom= 1.21E-12  exp= 1.00000000000121259E+00
  nu= 9.09E-13  ana= 1.98E-24  lim= 1.99E-24  numer= 1.20E-36  denom= 6.06E-13  exp= 1.00000000000060640E+00
  nu= 4.55E-13  ana= 4.96E-25  lim= 4.96E-25  numer= 1.50E-37  denom= 3.03E-13  exp= 1.00000000000030309E+00
  nu= 2.27E-13  ana= 1.24E-25  lim= 1.24E-25  numer= 1.88E-38  denom= 1.52E-13  exp= 1.00000000000015166E+00
  nu= 1.14E-13  ana= 3.10E-26  lim= 3.10E-26  numer= 2.35E-39  denom= 7.57E-14  exp= 1.00000000000007572E+00
  nu= 5.68E-14  ana= 7.74E-27  lim= 7.75E-27  numer= 2.94E-40  denom= 3.80E-14  exp= 1.00000000000003797E+00
  nu= 2.84E-14  ana= 1.95E-27  lim= 1.94E-27  numer= 3.67E-41  denom= 1.89E-14  exp= 1.00000000000001887E+00
  nu= 1.42E-14  ana= 4.81E-28  lim= 4.85E-28  numer= 4.59E-42  denom= 9.55E-15  exp= 1.00000000000000955E+00
  nu= 7.11E-15  ana= 1.23E-28  lim= 1.21E-28  numer= 5.74E-43  denom= 4.66E-15  exp= 1.00000000000000466E+00
  nu= 3.55E-15  ana= 2.94E-29  lim= 3.03E-29  numer= 7.17E-44  denom= 2.44E-15  exp= 1.00000000000000244E+00
  nu= 1.78E-15  ana= 8.08E-30  lim= 7.57E-30  numer= 8.97E-45  denom= 1.11E-15  exp= 1.00000000000000111E+00
  nu= 8.88E-16  ana= 1.68E-30  lim= 1.89E-30  numer= 1.12E-45  denom= 6.66E-16  exp= 1.00000000000000067E+00
  nu= 4.44E-16  ana= 6.31E-31  lim= 4.73E-31  numer= 1.40E-46  denom= 2.22E-16  exp= 1.00000000000000022E+00
  nu= 2.22E-16  ana= 7.89E-32  lim= 1.18E-31  numer= 1.75E-47  denom= 2.22E-16  exp= 1.00000000000000022E+00
  nu= 1.11E-16  ana= Infinity  lim= 2.96E-32  numer= 2.19E-48  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 5.55E-17  ana= Infinity  lim= 7.40E-33  numer= 2.74E-49  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 2.78E-17  ana= Infinity  lim= 1.85E-33  numer= 3.42E-50  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 1.39E-17  ana= Infinity  lim= 4.62E-34  numer= 4.28E-51  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 6.94E-18  ana= Infinity  lim= 1.16E-34  numer= 5.35E-52  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 3.47E-18  ana= Infinity  lim= 2.89E-35  numer= 6.68E-53  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 1.73E-18  ana= Infinity  lim= 7.22E-36  numer= 8.35E-54  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 8.67E-19  ana= Infinity  lim= 1.81E-36  numer= 1.04E-54  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 4.34E-19  ana= Infinity  lim= 4.51E-37  numer= 1.31E-55  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 2.17E-19  ana= Infinity  lim= 1.13E-37  numer= 1.63E-56  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 1.08E-19  ana= Infinity  lim= 2.82E-38  numer= 2.04E-57  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 5.42E-20  ana= Infinity  lim= 7.05E-39  numer= 2.55E-58  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 2.71E-20  ana= Infinity  lim= 1.76E-39  numer= 3.19E-59  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00
  nu= 1.36E-20  ana= Infinity  lim= 4.41E-40  numer= 3.98E-60  denom= 0.00E+00  exp= 1.00000000000000000E+00

根据this page，exp(x) - 1（对于小 x）可以以更稳定的方式计算为 2 * tanh(x/2) / (1 - tanh(x/2))。后一种表达方式确实似乎改善了结果。

program main
    implicit none
    integer, parameter :: dp = kind(0.0d0)
    real(dp) :: nu, h, kT, ana, lim, numer, denom, expfac, x

    h = 0.8d0; kT = 1.2d0

    nu = 1.0d0
    do while ( nu > 1.0d-20 )

        x = h * nu / kT
        numer = 2.0d0 * h * nu**3
        denom = (2 * tanh(x / 2)) / (1 - tanh(x / 2))

        ana = numer / denom
        lim = 2.0d0 * nu**2 * kT

        print "(5(2x,a,es9.2))", &
                "nu=", nu, "ana=", ana, "lim=", lim, &
                "numer=", numer, "denom=", denom

        nu = nu / 2.0d0
    enddo
end

结果：

  nu= 1.00E+00  ana= 1.69E+00  lim= 2.40E+00  numer= 1.60E+00  denom= 9.48E-01
  nu= 5.00E-01  ana= 5.06E-01  lim= 6.00E-01  numer= 2.00E-01  denom= 3.96E-01
  nu= 2.50E-01  ana= 1.38E-01  lim= 1.50E-01  numer= 2.50E-02  denom= 1.81E-01
  nu= 1.25E-01  ana= 3.60E-02  lim= 3.75E-02  numer= 3.13E-03  denom= 8.69E-02
  nu= 6.25E-02  ana= 9.18E-03  lim= 9.37E-03  numer= 3.91E-04  denom= 4.25E-02
  nu= 3.12E-02  ana= 2.32E-03  lim= 2.34E-03  numer= 4.88E-05  denom= 2.11E-02
  nu= 1.56E-02  ana= 5.83E-04  lim= 5.86E-04  numer= 6.10E-06  denom= 1.05E-02
  nu= 7.81E-03  ana= 1.46E-04  lim= 1.46E-04  numer= 7.63E-07  denom= 5.22E-03
  nu= 3.91E-03  ana= 3.66E-05  lim= 3.66E-05  numer= 9.54E-08  denom= 2.61E-03
  nu= 1.95E-03  ana= 9.15E-06  lim= 9.16E-06  numer= 1.19E-08  denom= 1.30E-03
  nu= 9.77E-04  ana= 2.29E-06  lim= 2.29E-06  numer= 1.49E-09  denom= 6.51E-04
  nu= 4.88E-04  ana= 5.72E-07  lim= 5.72E-07  numer= 1.86E-10  denom= 3.26E-04
  nu= 2.44E-04  ana= 1.43E-07  lim= 1.43E-07  numer= 2.33E-11  denom= 1.63E-04
  nu= 1.22E-04  ana= 3.58E-08  lim= 3.58E-08  numer= 2.91E-12  denom= 8.14E-05
  nu= 6.10E-05  ana= 8.94E-09  lim= 8.94E-09  numer= 3.64E-13  denom= 4.07E-05
  nu= 3.05E-05  ana= 2.24E-09  lim= 2.24E-09  numer= 4.55E-14  denom= 2.03E-05
  nu= 1.53E-05  ana= 5.59E-10  lim= 5.59E-10  numer= 5.68E-15  denom= 1.02E-05
  nu= 7.63E-06  ana= 1.40E-10  lim= 1.40E-10  numer= 7.11E-16  denom= 5.09E-06
  nu= 3.81E-06  ana= 3.49E-11  lim= 3.49E-11  numer= 8.88E-17  denom= 2.54E-06
  nu= 1.91E-06  ana= 8.73E-12  lim= 8.73E-12  numer= 1.11E-17  denom= 1.27E-06
  nu= 9.54E-07  ana= 2.18E-12  lim= 2.18E-12  numer= 1.39E-18  denom= 6.36E-07
  nu= 4.77E-07  ana= 5.46E-13  lim= 5.46E-13  numer= 1.73E-19  denom= 3.18E-07
  nu= 2.38E-07  ana= 1.36E-13  lim= 1.36E-13  numer= 2.17E-20  denom= 1.59E-07
  nu= 1.19E-07  ana= 3.41E-14  lim= 3.41E-14  numer= 2.71E-21  denom= 7.95E-08
  nu= 5.96E-08  ana= 8.53E-15  lim= 8.53E-15  numer= 3.39E-22  denom= 3.97E-08
  nu= 2.98E-08  ana= 2.13E-15  lim= 2.13E-15  numer= 4.24E-23  denom= 1.99E-08
  nu= 1.49E-08  ana= 5.33E-16  lim= 5.33E-16  numer= 5.29E-24  denom= 9.93E-09
  nu= 7.45E-09  ana= 1.33E-16  lim= 1.33E-16  numer= 6.62E-25  denom= 4.97E-09
  nu= 3.73E-09  ana= 3.33E-17  lim= 3.33E-17  numer= 8.27E-26  denom= 2.48E-09
  nu= 1.86E-09  ana= 8.33E-18  lim= 8.33E-18  numer= 1.03E-26  denom= 1.24E-09
  nu= 9.31E-10  ana= 2.08E-18  lim= 2.08E-18  numer= 1.29E-27  denom= 6.21E-10
  nu= 4.66E-10  ana= 5.20E-19  lim= 5.20E-19  numer= 1.62E-28  denom= 3.10E-10
  nu= 2.33E-10  ana= 1.30E-19  lim= 1.30E-19  numer= 2.02E-29  denom= 1.55E-10
  nu= 1.16E-10  ana= 3.25E-20  lim= 3.25E-20  numer= 2.52E-30  denom= 7.76E-11
  nu= 5.82E-11  ana= 8.13E-21  lim= 8.13E-21  numer= 3.16E-31  denom= 3.88E-11
  nu= 2.91E-11  ana= 2.03E-21  lim= 2.03E-21  numer= 3.94E-32  denom= 1.94E-11
  nu= 1.46E-11  ana= 5.08E-22  lim= 5.08E-22  numer= 4.93E-33  denom= 9.70E-12
  nu= 7.28E-12  ana= 1.27E-22  lim= 1.27E-22  numer= 6.16E-34  denom= 4.85E-12
  nu= 3.64E-12  ana= 3.18E-23  lim= 3.18E-23  numer= 7.70E-35  denom= 2.43E-12
  nu= 1.82E-12  ana= 7.94E-24  lim= 7.94E-24  numer= 9.63E-36  denom= 1.21E-12
  nu= 9.09E-13  ana= 1.99E-24  lim= 1.99E-24  numer= 1.20E-36  denom= 6.06E-13
  nu= 4.55E-13  ana= 4.96E-25  lim= 4.96E-25  numer= 1.50E-37  denom= 3.03E-13
  nu= 2.27E-13  ana= 1.24E-25  lim= 1.24E-25  numer= 1.88E-38  denom= 1.52E-13
  nu= 1.14E-13  ana= 3.10E-26  lim= 3.10E-26  numer= 2.35E-39  denom= 7.58E-14
  nu= 5.68E-14  ana= 7.75E-27  lim= 7.75E-27  numer= 2.94E-40  denom= 3.79E-14
  nu= 2.84E-14  ana= 1.94E-27  lim= 1.94E-27  numer= 3.67E-41  denom= 1.89E-14
  nu= 1.42E-14  ana= 4.85E-28  lim= 4.85E-28  numer= 4.59E-42  denom= 9.47E-15
  nu= 7.11E-15  ana= 1.21E-28  lim= 1.21E-28  numer= 5.74E-43  denom= 4.74E-15
  nu= 3.55E-15  ana= 3.03E-29  lim= 3.03E-29  numer= 7.17E-44  denom= 2.37E-15
  nu= 1.78E-15  ana= 7.57E-30  lim= 7.57E-30  numer= 8.97E-45  denom= 1.18E-15
  nu= 8.88E-16  ana= 1.89E-30  lim= 1.89E-30  numer= 1.12E-45  denom= 5.92E-16
  nu= 4.44E-16  ana= 4.73E-31  lim= 4.73E-31  numer= 1.40E-46  denom= 2.96E-16
  nu= 2.22E-16  ana= 1.18E-31  lim= 1.18E-31  numer= 1.75E-47  denom= 1.48E-16
  nu= 1.11E-16  ana= 2.96E-32  lim= 2.96E-32  numer= 2.19E-48  denom= 7.40E-17
  nu= 5.55E-17  ana= 7.40E-33  lim= 7.40E-33  numer= 2.74E-49  denom= 3.70E-17
  nu= 2.78E-17  ana= 1.85E-33  lim= 1.85E-33  numer= 3.42E-50  denom= 1.85E-17
  nu= 1.39E-17  ana= 4.62E-34  lim= 4.62E-34  numer= 4.28E-51  denom= 9.25E-18
  nu= 6.94E-18  ana= 1.16E-34  lim= 1.16E-34  numer= 5.35E-52  denom= 4.63E-18
  nu= 3.47E-18  ana= 2.89E-35  lim= 2.89E-35  numer= 6.68E-53  denom= 2.31E-18
  nu= 1.73E-18  ana= 7.22E-36  lim= 7.22E-36  numer= 8.35E-54  denom= 1.16E-18
  nu= 8.67E-19  ana= 1.81E-36  lim= 1.81E-36  numer= 1.04E-54  denom= 5.78E-19
  nu= 4.34E-19  ana= 4.51E-37  lim= 4.51E-37  numer= 1.31E-55  denom= 2.89E-19
  nu= 2.17E-19  ana= 1.13E-37  lim= 1.13E-37  numer= 1.63E-56  denom= 1.45E-19
  nu= 1.08E-19  ana= 2.82E-38  lim= 2.82E-38  numer= 2.04E-57  denom= 7.23E-20
  nu= 5.42E-20  ana= 7.05E-39  lim= 7.05E-39  numer= 2.55E-58  denom= 3.61E-20
  nu= 2.71E-20  ana= 1.76E-39  lim= 1.76E-39  numer= 3.19E-59  denom= 1.81E-20
  nu= 1.36E-20  ana= 4.41E-40  lim= 4.41E-40  numer= 3.98E-60  denom= 9.04E-21

【讨论】：

分子中的零怎么办？
对于小的“nu”，分子保持非零（参见输出中的“numer=”），但对于非常小的“nu”，分母恰好为零（因为exp(x) - 1)，即我认为分母比分子损失精度更快，因为分母是1阶值的差（如果x非常小）。
我认为问题中的句子“它本质上是说零次 Inf 是 Inf。”是混乱的原因。如果 x 接近 0/0（类似于可移动奇点，类似于 sin(x)/x），我们不能在表达式中将 x 精确设置为零。但是极限 x -> eps （一个小但非零的数字）可能会受到浮点数精度有限的影响（分母就是这种情况）。我认为这个问题不是 Fortran 特有的，其他语言也会出现。