检测重复小数的算法？答案

【问题标题】：Algorithm for detecting repeating decimals?检测重复小数的算法？
【发布时间】：2010-11-21 21:12:22
【问题描述】：

有没有一种算法可以解决以下问题？

如果除法的结果是重复的小数（二进制）。
如果重复，从哪个数字（表示为 2 的幂）开始？
哪些数字重复？

一些例子：

1/2 = 1/10 = 0.1 // 1 = false, 2 = N/A, 3 = N/A, 4 = N/A
1/3 = 1/11 = 0.010101... // 1 = true, 2 = -2, 3 = 10
2/3 = 10/11 = 0.101010... // 1 = true, 2 = -1, 3 = 10
4/3 = 100/11 = 1.010101... // 1 = true, 2 = 0, 3 = 10
1/5 = 1/101 = 0.001100110011... // 1 = true, 2 = -3, 3 = 1100

有没有办法做到这一点？效率是一个大问题。算法的描述比代码更受欢迎，但我会接受我能得到的答案。

还值得注意的是，基地并不是什么大问题。我可以将算法转换为二进制（或者如果它在，比如 base 256 以方便使用chars，我可以使用它）。我这样说是因为如果你在解释，你可能会更容易在 base 10 中解释:)。

【问题讨论】：

您还使用了哪些条件来获得结果？为什么不重复“01”、“01”、“10”和“0011”的数字？
@Guffa 我的理由是把 1 放在第一位，因为前导零不是 [显着][1]，而尾随零是。如果数字类似于“111.010101...”，则重复数字将是“01”，因为在这种情况下，第一个 0 很重要。 [1]:en.wikipedia.org/wiki/Significant_digits
@Guffa（续）不过这对我来说并不重要。如果您告诉我如何以返回“01”、“01”、“01”和“0011”的方式执行此操作，我会很高兴。 :)
听起来像projecteuler.net/problem=26 ;-)

标签： algorithm rational-numbers

【解决方案1】：

你可以做一个 long division，注意其余部分。余数的结构将为您提供任何有理小数的结构：

最后一个余数为零：它是一个没有任何重复部分的小数
第一个和最后一个余数相等：小数点在点之后重复
第一个和第一个余数等于最后一个的距离是不重复的数字，余数是重复的部分

一般来说，距离会给你每个部分的位数。

你可以在方法decompose()here中看到这个算法用C++编码。

Try228142/62265，它有一个1776位的句号！

【讨论】：

【解决方案2】：

如果除数不是 2 的幂（通常，包含不与表示基数共享的素数）
重复周期长度将由被除数的最大素因子驱动（但与该因子表示的长度无关——见十进制的 1/7），但第一个周期长度可能与重复周期不同单位（例如 11/28 = 1/4+1/7 十进制）。
实际周期取决于分子。

【讨论】：

+1 感谢您的评论。这让我对这个问题有了一些了解。特别是周期长度和实际周期由不同因素驱动的想法很重要。我知道这对于存储循环很重要，但我不认为它对于计算循环可能很重要。但是，我仍然看不到如何计算信息。

【解决方案3】：

要查找重复模式，只需跟踪沿线使用的值：

1/5 = 1/101:

1 < 101 => 0
(decimal separator here)
10 < 101 => 0
100 < 101 => 0
1000 >= 101 => 1

  1000 - 101 = 11

110 >= 101 => 1

  110 - 101 = 1

10 -> match

当您达到与第二位相同的值时，该过程将从该点重复，一遍又一遍地产生相同的位模式。您的模式“0011”从第二位重复（小数点后的第一个分隔符）。

如果您希望模式以“1”开头，您可以旋转它直到它匹配该条件：

"0011" from the second bit
"0110" from the third bit
"1100" from the fourth bit

编辑：
C# 中的示例：

void FindPattern(int n1, int n2) {
   int digit = -1;
   while (n1 >= n2) {
      n2 <<= 1;
      digit++;
   }
   Dictionary<int, int> states = new Dictionary<int, int>();
   bool found = false;
   while (n1 > 0 || digit >= 0) {
      if (digit == -1) Console.Write('.');
      n1 <<= 1;
      if (states.ContainsKey(n1)) {
         Console.WriteLine(digit >= 0 ? new String('0', digit + 1) : String.Empty);
         Console.WriteLine("Repeat from digit {0} length {1}.", states[n1], states[n1] - digit);
         found = true;
         break;
      }
      states.Add(n1, digit);
      if (n1 < n2) {
         Console.Write('0');
      } else {
         Console.Write('1');
         n1 -= n2;
      }
      digit--;
   }
   if (!found) {
      Console.WriteLine();
      Console.WriteLine("No repeat.");
   }
}

用你的例子调用它输出：

.1
No repeat.
.01
Repeat from digit -1 length 2.
.10
Repeat from digit -1 length 2.
1.0
Repeat from digit 0 length 2.
.0011
Repeat from digit -1 length 4.

【讨论】：

我不确定这是否能解决他的问题，因为某些分数在一定位数后重复，例如 5/6 = .8333333。所以在你的模型下，它会使用 8 来查找重复。
@letseatunch: 5/6 = 101/110 = 0.11010101010101010... 如果你运行 FindPattern(5,6) 它会发现从数字 -2 开始重复的模式，长度为 2。
我花了一点时间来理解您的代码，因为我不太了解 C#，但我认为这正是我所期待的。我是用 C++ 编写的，数字存储并非完全如此，但移植它应该很容易。非常感谢您的帮助！

【解决方案4】：

我可以给出一个提示 - 以十为底的重复小数都是分数，分母至少有一个除二和五之外的质因数。如果分母不包含质因数二或五，它们总是可以用全九的分母来表示。那么提名者就是重复部分，九的个数就是重复部分的长度。

3     _
- = 0.3
9

1   142857     ______
- = ------ = 0.142857
7   999999

如果分母中有两个或五个质因数，则重复部分不在第一个位置开始。

17    17        ______
-- = ----- = 0.4857142
35   5 * 7

但我不记得如何推导出非重复部分及其长度。

这似乎很好地转化为基数二。只有分母为 2 次方的分数是不重复的。这可以通过断言只设置了分母中的单个位来轻松检查。

1/2 =   1/10   = 0.1
1/4 =   1/100  = 0.01
3/4 =  11/100  = 0.11
5/8 = 101/1000 = 0.101

所有分母为奇数的分数都应该是重复的，模式和长度可以通过以2^n-1的形式表示分母的分数来获得。

                                                     __
 1/3            =  1/(2^2-1) =        1/11       = 0.01
                                                     __
 2/3            =  2/(2^2-1) =       10/11       = 0.10
                       __
 4/3  => 1 + 1/3 =>  1.01
                       __
10/3  => 3 + 1/3 => 11.01
                                                     ____
 1/5  =   3/15  =  3/(2^4-1) =       11/1111     = 0.0011
                                                     ________
11/17 = 165/255 = 11/(2^8-1) = 10100101/11111111 = 0.10100101

至于以十为底，我不知道如何处理包含但不是 2 的幂的分母 - 例如 12 = 3 * 2^2。

【讨论】：

+1 按照这个逻辑，以 2 为底，重复小数是分母的质因数不是 2 的分数（我知道这一点）。我不知道如果他们有一个素因子 1，它会从第一个位置以外的地方开始（这是有用的信息！）。

【解决方案5】：

首先，你的一个例子是错误的。 1/5的重复部分是0011而不是1100，它从小数部分的最开头开始。

重复小数类似于：

a/b = c + d(2^-n + 2^-n-k + 2^-n-2k + ...) = c + 2^-n * d / (1 - 2^-k)

其中n 和d 是你想要的。

例如，

1/10(dec) = 1/1010(bin) = 0.0001100110011... // 1 = true, 2 = -1, 3 = 0011

可以用公式表示

a = 1, b = 10_(dec), c = 0, d = 0.0011_(bin), n = 1, k = 4; (1 - 2^-k) = 0.1111

因此，1/10 = 0.1 * 0.0011/0.1111。重复十进制表示的关键部分是通过除以 (2n - 1) 或其任意 2 的倍数生成的。因此，您可以找到一种方法来表达分母（例如构建常量表），或者进行大数除法 (相对较慢）并找到循环。没有快速的方法来做到这一点。

【讨论】：

+1 为您提供技术意见。然而，Guffa 的方法似乎非常有效，并且似乎与数字的长度呈线性关系，这已经足够快了，因为这可能最常用于较小的数字。虽然这使我能够支持任意精度的浮点运算，但真正的目的是保持以 10 为底的数字精确（即，在大多数语言中，1.1 以 10 为底的数字是 1.100000001 或类似的，因为重复小数）。
实际上，根据您的目的，有更好的方法：您可以将有理数保留为分数形式而不是扩展它们，或者您可以简单地以 10 为底进行数学运算。处理重复小数并不像我一样容易会想象。 :)

【解决方案6】：

查看decimal expansion，特别是分数的周期。

【讨论】：

+1 感谢您的帖子。这有助于我理解问题。