将多元三角函数与 scipy 进行数值集成的最有效方法？

Question

编辑：这个问题与this one 基本相同，我鼓励观众去那里了解更多信息。补充一下这个答案：因为我的函数缺乏狭窄的颠簸、奇点等；具有有限的集成界限；并且已知有一个小整数解（我只需要 1-2 个 sigfigs），它是蒙特卡洛算法的近乎理想的选择。最终1e6点就足够解决了。

我有一个非常复杂的由五个变量组成的三角函数x1, x2, x3, y1, z1 我正在尝试对 (-pi,pi) 进行积分（每个变量一次）。我知道解决方案是一个整数，所以我在与scipy.integrate.nquad() 进行数值积分时只要求一位数的精度；但它仍然在我的笔记本电脑上运行了 74.5 小时，在我停止之前没有任何结果。那时我也不知道我的进步是什么。

我的实际代码（和函数）：

low_lim = -np.pi
hi_lim = np.pi

fn = lambda x1,y1,z1,x2,x3: (
                        (
                        cos((x1+y1+z1)/2) * cos((-x1+y1+z1)/2) *
                        cos((x1-y1+z1)/2) * cos((x1+y1-z1)/2)
                        ) *
                        (
                        cos((x2+y1+z1)/2) * cos((-x2+y1+z1)/2) *
                        cos((x2-y1+z1)/2) * cos((x2+y1-z1)/2)
                        ) *
                        (
                        cos((x3+y1+z1)/2) * cos((-x3+y1+z1)/2) *
                        cos((x3-y1+z1)/2) * cos((x3+y1-z1)/2)
                        ) *
                        (sin((x1-x2)/2)**2 * sin((x1+x2)/2)**2 ) * 
                        (sin((x2-x3)/2)**2 * sin((x2+x3)/2)**2 ) * 
                        (sin((x1-x3)/2)**2 * sin((x1+x3)/2)**2 )
        )


result = nquad(fn,[[low_lim,hi_lim],[low_lim,hi_lim],[low_lim,hi_lim],
                    [low_lim,hi_lim],[low_lim,hi_lim]],opts={'epsabs':1e0})

（为了不必要的精确，一旦我用一个已知的前置因子对其进行归一化，这个积分将是整数值。）

我想知道，有没有比 nquad() 更好的方法来执行这种集成？或者如果没有，如何添加进度检查，这样我至少不知道如何深入我的集成，也许是通过在每次完成对其中一个变量的集成时打印一个时间戳？

（编辑：对错误复制代码的小修复）

Answer 1

看起来像是蒙特卡罗集成的案例。