四倍精度 (gcc) 的 Epsilon

Question

根据维基百科，不同精度数据类型的布局是

• single precision：指数（e）：8位，小数（f）：23位
• double precision：e：11 位，f：52 位
• quadruple precision：e：15 位，f：112 位。

我写了一个小程序输出C++中float、double和long double的数值限制（用g++编译） p>

#include<iostream>
#include<limits>
#include<string>

template<typename T>
void print(std::string name) {
    std::cout << name << " (" << sizeof(T) * 8 << "): " << std::numeric_limits<T>::epsilon() << "\t"  <<  std::numeric_limits<T>::min() << "\t" <<  std::numeric_limits<T>::max() << std::endl;
}

int main() {
    std::cout.precision(5);
    print<float>("float");
    print<double>("double");
    print<long double>("long double");
    return 0;
}

哪些输出（我在多台机器上运行过，结果相同）

float (32): 1.1921e-07  1.1755e-38  3.4028e+38
double (64): 2.2204e-16 2.2251e-308 1.7977e+308
long double (128): 1.0842e-19   3.3621e-4932    1.1897e+4932

上限与 2^(2^(e-1)) 一致，对于 float 和 double，epsilon 与 2^(-f) 一致。对于 long double，按照这种逻辑，epsilon 应该大约为 1.9259e-34。

有谁知道，为什么不呢？

Answer 1

long double 不保证实现为 IEEE-745 四倍精度。 C++ reference reads:

long double - 扩展精度浮点类型。不一定映射到 IEEE-754 规定的类型。通常是 x86 和 x86-64 架构上的 80 位 x87 浮点类型。

如果 long double 实现为 80-bits x86 extended precision，则 epsilon 为 2<sup>-63</sup> = 1.0842e-19。这是您作为输出获得的值。

某些编译器 support __float128 类型具有四倍精度。在 GCC 中，long double 成为 __float128 的别名，如果使用了 -mlong-double-128 命令行选项，并且在 x86_64 目标上，__float128 是 guaranteed 为 IEEE 四倍精度类型（在软件中实现）。

std::numeric_limits 不是专用于__float128。要获得 epsilon 的值，可以使用以下技巧（假设是 little-endian 机器）：

__float128 f1 = 1, f2 = 1;      // 1.q       -> ...00000000
std::uint8_t u = 1;
std::memcpy(&f2, &u, 1);        // 1.q + eps -> ...00000001
std::cout << double(f2 - f1);   // Output: 1.9259e-34

使用 GCC，您可以使用 libquadmath:

#include <quadmath.h>
...

std::cout << (double)FLT128_EPSILON;

获得相同的输出。