限制总和的安排

Question

我正在寻找一种算法，该算法在所有组合的总和为 k，ka 为正的约束下，给出给定步骤 S（可以是正实数）的 n 个序列的重复排列整数。

因此，我的问题是找到方程的解：

x 1 + x 2 +⋯ + x n = k 在哪里

0 ≤ x i ≤ b i 和 S（步骤）是一个有限小数的实数。

例如，如果 0≤xi≤50，且 S=2.5，则 xi = {0, 2.5 , 5,..., 47.5, 50}。

这里的重点是仅查看 sum=k 的组合，因为如果 n 很大，则不可能生成所有排列，因此我想绕过它以仅生成与约束匹配的组合。

例如，我想从 n=2 开始，然后找到所有符合约束条件的线性组合。

例如：如果 xi = {0, 2.5 , 5,..., 47.5, 50} 并且 k=100，那么我们只有一个组合 ={50,50} 对于 n=3，我们有 n=2 乘以 3 的组合，即 {50,50,0}、{50,0,50} 和 {0,50,50} 加上组合 {50,47.5,2.5} * 3！等等……

如果 xi = {0, 2.5 , 5,..., 37.5, 40} 和 k=100，那么我们有 0 个组合用于 n=2，因为 2*40

我有点迷茫，因为我知道我应该将步骤 S 和 b 作为输入，我似乎无法找到启动算法的正确方法。

你有什么建议吗？

谢谢

Answer 1

您可以通过将所有内容除以 S 将您的问题转换为整数问题：我们想要找到所有整数序列 y₁, ..., y _n 与：

(1) 0 ≤ y_i ≤ ⌊b / S⌋

(2) y₁ + ... + y_n = k / S

如果k不是S的倍数，我们可以看到没有解。一旦我们减少了问题，我建议使用伪多项式动态规划算法来解决subset sum problem，然后从中重建解决方案。令 f(i, j) 为将 j 与 i 元素相加的方式数。我们有以下重复：

f(0,0) = 1
f(0,j) = 0  forall j > 0
f(i,j) = sum_{m = 0}^{min(floor(b / S), j)} f(i - 1, j - m)

我们可以在O(n * k / S)时间内通过逐行填充来解决f。现在我们要重建解决方案。我使用 Python 风格的伪代码来说明这个概念：

def reconstruct(i, j):
    if f(i,j) == 0: 
        return
    if i == 0:
        yield []
        return
    for m := 0 to min(floor(b / S), j):
        for rest in reconstruct(i - 1, j - m):
             yield [m] + rest

result = reconstruct(n, k / S)

result 将是所有可能组合的列表。

Answer 2

您所描述的内容听起来像是subset sum problem 的一个特例。一旦你把它放在这些术语中，你会发现 Pisinger 显然有一个linear time algorithm 来解决你的问题的更一般版本，因为你的权重是有界的。如果您对设计自己的算法感兴趣，可以先阅读Pisinger's thesis 以获得一些想法。

由于您正在寻找所有可能的解决方案，而不仅仅是单个解决方案，因此动态编程方法可能是您的最佳选择。