与原始图具有相同边数的子图答案

【问题标题】：Subgraph with same number of edges as original graph与原始图具有相同边数的子图
【发布时间】：2011-10-19 07:30:38
【问题描述】：

我目前有一个有效的算法来生成图的子图（使用 boost 库）。我的问题，虽然看起来很明显，但更多的是理论上的答案：无向、无权图 G 的子图 S 是否可以与 G 具有相同数量的边，不包括 G 本身？ S 可以拥有的顶点数量没有限制。

我对上述问题的第一个猜测必须是“否”，但这是基于“常识和挥手”而不是严格的数学论证。有没有人有替代答案或知道子图必须遵守的一组数学标准？

谢谢， VV

【问题讨论】：

【解决方案1】：

是的。如果 G 有一个孤立的顶点（一个没有边进出的顶点），那么通过删除该顶点获得的 G 的子图具有相同数量的边，但顶点数量要少。

假设 G 没有孤立的顶点。 G的任何（严格即不是G）子图必须要么包含G的所有顶点，要么省略G的某些顶点v。如果前者，它不能拥有G的所有边，否则它将是G。如果是后者，因为v 至少有一个事件边e（假设），所以子图不能包含e，因为它不包含它的两个端点；即，它不包含v。因此，G 的任何子图的边都严格少于 G 本身。

【讨论】：

【解决方案2】：

是的 - 考虑一个带有 isolated vertex 的图表 G。删除这个顶点给出了G 的正确子图，其边集与G 的边集完全相同。

如果图形没有孤立的顶点，那么答案是“否”：当您删除一个顶点时，该顶点的所有边incident 都会被删除。由于每个顶点至少有一个这样的边（记住：没有孤立的顶点），边的数量减少了。

【讨论】：