使用水平和垂直角度以及斜距计算 3D 点坐标

Question

我正在尝试学习如何使用原点的 XYZ 坐标、水平和垂直角度以及 3d 距离来计算点的 XYZ 坐标。我可以通过将点投影到 2D 平面上简单地进行计算，但是在 3D 中是否有更直接的方法？

我试图了解测量全站仪如何根据其测量位置、测量到新点的 3d（坡度）距离以及瞄准新点的测量水平和垂直角度来计算新点位置地点。

谢谢，

E

Answer 1

只是关于约定的注释：2D polar coordinates 经常使用(radius, theta)，其中theta 是“水平”或“方位角”角度。它的范围从：theta=0，X 轴上的 2D 点 (x,y) = (radius,0)，到：XY 平面上的theta=2*PI - 随着theta 的增加，逆时针方向。现在来混淆视听......

3D spherical coordinates（保持右手坐标系）经常使用坐标：(radius, theta, phi)。在这种情况下，theta 用于“垂直”或“天顶”角度，范围从theta=0（Z 轴）到theta=PI（-Z 轴）。 phi 用于方位角。

其他教科书将使用不同的约定 - 但这似乎受到物理学家和（某些）数学教科书的青睐。 重要的是你选择一个约定并始终如一地使用它。

如下：

radius：到点的距离。给定笛卡尔坐标中的点(x,y,z)，我们有（毕达哥拉斯）半径：r = sqrt(x * x + y * y + z * z)，例如，0 <= radius < +infinity

theta：天顶角，其中theta=0 在正上方（+Z 轴），theta=PI 在正下方（-Z 轴），theta=PI/2是您认为 0 度的“仰角”，例如，
0 <= theta <= PI

phi：方位角，其中phi=0 指向“右”（+X 轴），当您“逆时针”转动时，phi=PI/2（+Y轴）、phi=PI（-X 轴）、phi=3*PI/2（-Y 轴）和 phi=2*PI - 等效于 phi=0（返回 +X 轴）。例如，0 <= phi < 2*PI

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伪代码：（标准数学库三角函数）

从(radius, theta, phi)你可以找到点(x,y,z)：

x = radius * sin(theta) * cos(phi);
y = radius * sin(theta) * sin(phi);
z = radius * cos(theta);

相反，您可以找到(radius, theta, phi) 来自 (x,y,z)：

radius = sqrt(x * x + y * y + z * z);
theta = acos(z / radius);
phi = atan2(y, x);

注意：在最终等式中使用atan2 很重要，不是 atan!