如何以恒定的速度沿样条线移动对象？答案

【问题标题】：How can i move an object along Spline with CONSTANT speed?如何以恒定的速度沿样条线移动对象？
【发布时间】：2017-04-22 00:18:34
【问题描述】：

我有一条样条线，我可以沿着曲线以可变速度移动对象，但我想以恒定速度移动，我该如何实现？

public static class SplineCurve {

public static Vector3 GetPoint (Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3, float t) {
    t = Mathf.Clamp01(t);
    float oneMinusT = 1f - t;
    return
        oneMinusT * oneMinusT * oneMinusT * p0 +
        3f * oneMinusT * oneMinusT * t * p1 +
        3f * oneMinusT * t * t * p2 +
        t * t * t * p3;
}

public static Vector3 GetFirstDerivative (Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3, float t) {
    t = Mathf.Clamp01(t);
    float oneMinusT = 1f - t;
    return
        3f * oneMinusT * oneMinusT * (p1 - p0) +
        6f * oneMinusT * t * (p2 - p1) +
        3f * t * t * (p3 - p2);
}

}

我将常量参数 t 发送到该曲线并获取该点，然后将对象移动到该点，但这给了我可变速度。我想以恒定的速度移动我的对象，我该如何实现？

是否有任何方程可以让我求解特定距离的 t？

B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3  * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2* P2 + t^3* P3

我用过这个公式

【问题讨论】：

因为您可以计算导数，所以将步长按因子 (desired speed)/(norm of derivative) 缩放。

标签： c# math unity3d bezier spline

【解决方案1】：

很遗憾，贝塞尔曲线的长度不能用封闭公式表示（它是椭圆积分）。但是对于移动，您可能会忽略精度并使用一些简单的近似值。

Arbitrary found example - “我做了什么”部分。

使用这种方法，您可以将曲线分割成小段，获取这些段的长度并定义每个段的 t 变化速度。

【讨论】：

你甚至不需要分割，你只需要以足够接近的间隔对曲线进行采样，然后在每个采样点之间使用线性插值（pomax.github.io/bezierinfo/#tracing）

【解决方案2】：

您正在寻找的是贝塞尔曲线的重新参数化，它是按时间参数化的，而不是距离，因此您可以计算“距离曲线点 (或比率）d"。这实际上是一个非常困难的问题，到目前为止，它是实现您正在为“计算机屏幕”工作的最有效的方法：构建一个 LUT（查找表）点，其中为每个点记录 x/y(/ z) 坐标、时间值以及与以这种方式覆盖的曲线起点的线性距离，以便您可以沿绘制的曲线（而不是数学上精确的曲线）移动) 基于具有简单功能的 LUT：

getCoordinate(d):
  // get a known coordinate at, or before, distance 'd'
  s = findBefore(d)

  // get a known coordinate after distance 'd',
  // or 'false' if 'd' is actually a real LUT point
  e = findAfter(d)

  // if it was a real LUT point, we're done.
  if (e is false): return LUT[d]

  // if it wasn't, perform linear interpolation
  // between the known before/after coordinates,
  // and treat that as the coordinate-for-distance.
  return interpolate(d, e, s)

随着沿曲线的距离单调增加，您可以通过编写 LUTkeyed on distance 让您的生活变得轻松，因此 LUT[0] 是开始，LUT[len/2] 是曲线经过中途，LUT[len-1] 是终点。

要确保记住的一件事是，为了正确使用它，您需要将曲线标记为具有两个长度：基于类似 legendre 的真正数学弧长-guass 正交计算，以及此 LUT 的近似长度，基于您计算的坐标之间的所有线性距离的总和。您将第一个用于通用目的“告诉用户曲线长度”，但您使用 second 实际沿曲线移动物体。

（因为您没有沿着曲线移动物体，所以您正在沿着曲线的多边形近似移动物体，这在 99.99% 的情况下正是您想要的）

这段代码没有指定findbefore和findafter函数，但是这样做的方法太多了——二分查找（i = len, v = len >> 1，检查LUT[iv]；高于d=>@ 987654328@，低于d => i += v，通过v >> 1 修复v，重复直到v 变为零并且您找到了边界数组索引。

【讨论】：