从两对三点（或两对两个向量）导出轴/角度旋转

Question

请注意，虽然听起来很相似，但这不是常见的“如何将一个向量旋转到另一个向量”的问题。

我想从两组 3 个点推导出仿射变换（矩阵或四元数+向量形式）。这些可以看作是刚体上的“标记点”，或者是“向前和向上”向量的端点。 平移和旋转是必要的，缩放不是必需的。此外，四元数+矢量解决方案将是一个加号，因为它可以让我将 1/3 的实例塞进绘图批次（8 个制服而不是 12 个）。 其目的是建立一个系统，用于以直观的方式确定（铰接或未铰接的）身体的姿势，而无需维护和行走复杂的层次结构。

第一个明显的简化是通过选择一个点并从相应的“起点”中减去“目的地”来消除平移部分。现在我们只需要处理一个轮换。

有一个众所周知的、计算成本低廉的构造四元数的解决方案，它可以将一个向量旋转到另一个向量上，即 q(cross(v1,v2) ; sqrt(v1.len_sq * v2.len_sq) + dot(v1,v2 )) 或 q(cross(v1,v2) ; 1 + dot(v1,v2)) 用于单位长度向量。不幸的是，这种方法没有“向上方向”的概念，因此总是在最短的弧上旋转（这会使对象不对齐）。 幼稚的做法是简单地对两个向量使用这种方法并将四元数相乘，但显然不会那么容易。 需要做的是选择两个向量中的一个（我们称其为“前向”），并为此创建一个四元数，然后使用该四元数旋转另一个（“向上”）向量，然后构造第二个四元数对于旋转的“向上”向量（和目标“向上”向量），最后将第二个乘以第一个四元数。据我所知，这将是正确的，但它也非常复杂。

现在...至于旋转矩阵，我知道“三元法”，我理解如下： - 正交化向量对（开始和结束） - 这会产生两个正交基，它们是从“公共参考系”开始和结束的相应旋转矩阵。这到底是什么参考系并不重要，重要的是两者都是相同的。 - S 是从“普通帧”到起始帧的变换，D 是分别到结束帧的变换。 - 因此，S^-1 * D * v 将任意点从起点坐标系变换到终点坐标系（通过公共参考系）。 - S^-1 == S^T 因为它是一个正交矩阵，并且 S^T * x = x * S - 因此：S^T * D * v = D * S * v

这应该可行，但对于实际上应该非常非常简单的事情来说，它似乎仍然相当复杂。

有没有更简单、更直接的解决方案？

Answer 1

我们必须解决这个完全相同的问题。这是我的做法：

调用点 P 和 W，所以我们有 P1..P3 和 W1..W3

像这样在每个空间中构造三个向量

A1 = P2-P1
A2 = P3-P1
A3 = A1 x A2

和

B1 = W2-W1
B2 = W3-W1
B3 = B1 x B2

这两对三个向量各自构成一个非正交基，您想找到如何在一个空间中表示您的笛卡尔轴（x y 和 z），以便在另一个空间中找到它们。为此，请构建一个矩阵，使其列是上面找到的三个向量。然后对这个矩阵进行反演，如果这个反演失败，则非正交基不跨越空间，问题无法解决。

然后将三列拉出倒置矩阵。这些列是非正交基（V1、V2 和 V3）的笛卡尔轴。由此我们可以重构一个正交基，它将作为从第一个空间到第二个空间的变换矩阵。

如果我们将此矩阵称为 R，并将 R[row, column] 表示为我们的符号，那么最终转换矩阵的行（或列，取决于您如何使用矩阵）将是：

B1 * R[0,0] + B2* R[1,0] + B3 * R[2,0]
B1 * R[0,1] + B2* R[1,1] + B3 * R[2,1]
B1 * R[0,2] + B2* R[1,2] + B3 * R[2,2]

现在，由于在求逆之前原始矩阵的其中一列是其他两列的交叉，因此可能可以优化矩阵的求逆。我没有费心去做这件事——尤其是因为在我们的例子中，三个点 P1..P3 没有改变，因此可以缓存倒置矩阵。

这种方法的优点是，如果你有一个不错的矩阵/向量库，那么实现起来非常简单。而且它不使用角度，这总是一件好事。

Answer 2

您的“极其复杂”的四元数解决方案通常不起作用。您必须将第二对向量投影到与第一个旋转轴正交的平面上，以确保第二个旋转与第一个旋转正交。

原理我已经在我的博客中描述过，如果你有兴趣：http://robokitchen.tumblr.com/post/67060392720/finding-a-rotation-quaternion-from-two-pairs-of-vectors

旋转前：u0，v0。旋转后：u2，v2。

Quaternion q2 = Quaternion::fromTwoVectors(u0, u2);
Vector v1 = v2.rotate(q2.conjugate());
Vector v0_proj = v0.projectPlane(u0);
Vector v1_proj = v1.projectPlane(u0);
Quaternion q1 = Quaternion::fromTwoVectors(v0_proj, v1_proj);
return (q2 * q1).normalized();

我不确定这是否是您想要的解决方案，但代码运行速度惊人。

Answer 3

仅处理旋转部分，您的第二种方法将起作用，我怀疑它会起作用。或者，您可以使用这两种方法的混合，这可能会更容易一些。假设您在上面构建了两对两个向量，每一对都在自己的向量空间中。计算每一对的正交基，称它们为一个向量空间中的 X₀ 和 X₁，以及它们对应的向量 Y₀ 和 Y1 在另一个向量空间中。您现在必须计算两个四元数旋转：

1) q₀ 旋转 X₀ 和 X₁ 到 X'₀ 和 X'1 分别使得 X'₀ = Y₀。 X'₁ 和 Y₁ 现在应该与平面法线 X'₀ = Y₀ 共面。 p>

2) q₁ 将 X'₁ 旋转到 X''₁ = Y₁。您需要做的就是计算向量之间的角度，因为您已经知道旋转向量将只是 X'₁ x Y₁ = X'_{0 = Y0}

您可以计算 q = q₁ * q₀ 以一步执行旋转。