查找最大面积以椭圆为界的等腰三角形的坐标

Question

“重定向”这里从数学溢出： https://mathoverflow.net/questions/372704/find-coordinates-of-isosceles-triangle-with-maximum-area-bounded-by-ellipse

我有一个窗口，里面刻有一个椭圆。椭圆的半径是 screen_width / 2 和 screen_height / 2。我想找到适合椭圆而不会溢出的最大等腰三角形的坐标。

三角形尖端的方向是一个枚举参数（即 N、E、S、W）。根据我的阅读，没有唯一的解决方案，但最大面积是一个简单的公式，并且有一种方法可以找到解决问题的三角形。然而，这种方式只是暗示，可能涉及使用线性代数将日食和等腰三角形归一化为单位圆和等边三角形，但网上似乎没有这样的公式。

Answer 1

基于 Reblochon Masque 的笔记

def inner_rect (self):
        rect = self.outer_rect ()             # bounding box of ellipse
        x, y, w, h = rect
        r = self.child.orientation.radians () # direction of triangle
        pts = inscribe_polygon (3, r)
        pts = graphics_affines (pts)          # from cartesian
        pts = scale_points (pts, rect)        # scale points to ellipse dims
        o, r = bounding_rect (pts)
        xmin, ymin = o
        dx, dy = r
        return (xmin, ymin, dx, dy)

Answer 2

添加到@Reblochon 的答案，这是一个完整的例子。我试过了，为什么不分享呢:)

import pygame
from math import sin, cos, pi
pygame.init()

SW = 600
SH = 600
WIN = pygame.display
D = WIN.set_mode((SW, SH))

radiiX = SW/2
radiiY = SH/2

def ellipse(center, rx, ry):
    global gotPositions
    angle = 0
    while angle < 6.28:
        angle += 0.0005

        pygame.draw.circle(D, (255, 255, 0), (int(center[0]), int(center[1])), 2)
        x = center[0] + sin(angle)* radiiX
        y = center[1] + cos(angle)* radiiY
        D.set_at((int(x), int(y)), (255, 255, 0))

top= (SW/2, 0)  # this one does not change
bot_left = (SW/2 - SW*cos(pi/6)/2, SH/2 + SH*sin(pi/6)/2) 
bot_right = (SW/2 + SW*cos(pi/6)/2, SH/2 + SH*sin(pi/6)/2)

points = [top, bot_left, bot_right]

while True:
    D.fill((0, 0, 0))
    events = pygame.event.get()
    for event in events:
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()

    ellipse([radiiX, radiiY], radiiX, radiiY)
    pygame.draw.lines(D, (255, 255, 0), True, points)
    
    pygame.display.flip()

Answer 3

一个内接在一个圆中的等边三角形是覆盖圆最大面积的三角形（一些你应该查找的定理）。

椭圆是一个“压扁”的圆，因此，如果我们用一个内切等边三角形压扁一个圆，只要我们沿着对称线这样做，我们就会得到一个最大面积等腰三角形（两条边被一个共同因子调整大小，第三条边被另一个因子拉伸）。

角度遵循inscribed angle theorem 和complementary angle theorem

考虑到你的屏幕宽大于高，三角形3个顶点的坐标如下（在屏幕坐标中，原点在左上角）

top: (w/2, 0)  # this one does not change
bot_left = (w/2 - w*cos(pi/6)/2, h/2 + h*sin(pi/6)/2) 
bot_right = (w/2 + w*cos(pi/6)/2, h/2 + h*sin(pi/6)/2)