检查圆形是否适合非量化二维空间中的迷宫

Question

我是一名高中生，最近参加了一个编程比赛，遇到了一个我不知道如何解决的问题：

给定一个封闭在 100x100 区域中的迷宫，根据所有墙壁的位置确定具有给定半径的圆是否可以穿过迷宫。墙将被定义为连接空间内两个点的线，您将获得圆的起点和终点。圆圈必须以起点为中心并接触目标点才能成功穿过迷宫。最多有 20 面墙。圆的半径和墙壁的位置可以“任意”精确。 （在这种情况下，“任意”仅表示在很远的范围内 - 比如说，最多小数点后 10 位）。

这是一个例子。如果这是输入：

Radius = 2.8
Start = (5,5), Destination = (95,95)
Walls (a wall connects each pair of points):
(20,0) to (27.5,22.6)
(27.5,22.6) to (55.1,35.5)
(55.1,35.5) to (80.3,80,4)
(80.3,80,4) to (95,63.9)
(1.7,25.8) to (17.5,53.2)
(17.5,53.2) to (56.4,69)
(56.4,69) to (67.9,90.6)
(85.6,98.94512) to (87.3,92.5)

那么这个（在desmos上制作）就是迷宫的样子（蓝色圆圈只是为了显示圆圈有多大）：

如果问题在量化网格中，我会知道如何解决问题，但墙壁的确切位置和圆的半径可以任意精确。我曾想过使用“右手法则”来寻找路径，但我不知道如何在非量化空间中实现（我对方法也不是很熟悉）。

我将如何解决这个问题？有人可以给我指出一个算法、一个链接、一些伪代码，或者只是一种直觉，可以帮助我理解如何解决这个问题吗？任何帮助表示赞赏。谢谢！

Answer 1

r 在每一侧加厚/移动墙壁，就像在另一个答案（+1 btw）中一样，听起来很简单，但编写代码并不是一件容易的事。有关详细信息，请参阅

• draw outline for some connected lines

如果dx,dy 是线方向，那么二维中的法线方向很容易，那么(-dy,dx) 和(dy,-dx) 是它的法线方向...

但是我鼓励通过计算迷宫的每个顶点到墙壁的最近距离以及比2r更近的路径来做更慢但更安全和更容易的方法...

类似这样的：

所以：

1. 每个顶点
2. 检查所有不属于顶点路径的行

3. 计算d 到直线及其顶点的垂直距离和最小距离 使用最小的d 距离可以很容易地计算出来看看：

   • helix central axis angle

   在那里寻找Perpendicular distance of any point P to AB 所以：

   d = min
         (
         perpendicular_distance(line,vertex), 
         |line_vertex1-vertex|, 
         |line_vertex2-vertex| 
         )
   

   如果d<2r 关闭路径。例如，通过添加一条连接墙的线太靠近测试的顶点

   理想情况下，通过连接测试顶点和找到的最近点。在这种情况下，不要忘记将相对的墙线按最近的点一分为二，这样您的图形算法仍然可以工作......

如您所见，这是O(n^2)，而不是其他答案中的O(n)，但它的防犯规......扩大多边形不是，事实上它是二维几何中最难编码的事情之一（ IIRC 甚至还有待解决的问题）...

Answer 2

这是一项艰巨的任务并且不容易编码，但这里有一种可行的方法：

让 r 为圆的半径。这意味着圆的中心不能进入任何障碍物的r范围内。

将迷宫区域的墙壁每边移动 r。

用半径为 r 的圆替换每个墙端点。

用宽度为 2r 的矩形替换每面墙。

现在您无需担心圆 - 只需关注它的中心点，它必须保持在新边界内，并且在您从墙壁上制作的任何圆或矩形之外。

现在，如果它们在同一个封闭区域中，则有一条从起点到终点的路径。要找出答案...

在每个交叉点和垂直最大值或最小值处水平切割场景以创建条带，每个条带由一条一直穿过它的直线或圆弧划分为多个区域。一个区域不会将方向连接到它的左右区域，但可以连接到它上面和下面的条带中的零个或多个区域。区域之间的联系形成了一个图表。

从包含起点的区域开始，在此图上运行 BFS 或 DFS，看看是否可以到达包含终点的区域。