符号函数证明的积分

Question

谁能证明下面的这个表达式？我在一篇论文中看到了这一点，并试图看看它来自哪里。

integral(sign(A*w*cos(w*t+phi))*cos(w*t), t, 0, 2*pi/w) = 4/pi*cos(phi)

Answer 1

当你复制它时，等式不成立，但你无论如何都可以计算它。我会给你一些关于如何进行的提示：

有两种情况：（1）cos(phi) >= 0和（2）cos(phi) < 0。让我们考虑第一个，第二个类似。

将phi 替换为phi - 2kpi，这样-pi < phi - 2kpi <= pi。这样的k 之所以存在是因为cos(phi) >= 0。你表达的结果不会改变（为什么？），因此我们可以限制自己的情况-pi < phi <= pi。

现在介绍变量u = wt + phi的变化。表达式变为：

sg(Aw)/w*积分(sg(cos(u))cos(u-phi), u, phi, phi+2pi)

所以问题归结为计算积分（sg(Aw)/w 是常数。）

将积分一分为三：

• I1：从phi 到pi/2
• I2：从pi/2 到(3/2)pi 和
• I3：从(3/2)pi 到phi+2pi。

在第一个区间sg(cos(u)) = 1，在第二个= -1，在第三个=-1。所以，

I1 = integral(cos(u-phi),u,phi,pi/2)
I2 = -integral(cos(u-phi),u,pi/2,(3/2)pi)
I3 = integral(cos(u-phi),u,(3/2)pi,phi+2pi)

我想你可以从这里关注。