我可以使用中位数选择算法在 O(n) 中找到中位数。另外，我知道算法完成后，中位数左侧的所有元素都小于中位数，右侧的所有元素都大于中位数。但是如何在 O(n) 时间内找到离中位数最近的 k 个邻居？
如果中位数为n，则左边的数字小于n，右边的数字大于n。 但是，数组不是在左侧或右侧排序的。这些数字是用户给出的任何一组不同的数字。
问题来自Cormen的Introduction to Algorithms，问题9.3-7
【问题讨论】：
标签： algorithm sorting search median nearest-neighbor
似乎没有人完全拥有这一点。这是如何做到的。首先，如上所述找到中位数。这是 O(n)。现在将中位数停在数组的末尾，并从每个其他元素中减去中位数。现在再次使用快速选择算法找到数组的元素 k（不包括最后一个元素）。这不仅会找到元素 k（按顺序），它还会离开数组，使最小的 k 数字位于数组的开头。这些是最接近中位数的 k，一旦将中位数重新添加进去。
【讨论】：
中位数的中位数可能对找到最近的邻居没有多大帮助，至少对于较大的 n 而言。诚然，每列 5 列围绕它的中位数进行分区，但这不足以解决问题。
我只是将中位数视为中间结果，并将最近的邻居视为优先队列问题...
从中位数中获得中位数后，请记下它的值。
对所有数据运行 heapify 算法 - 请参阅 Wikipedia - Binary Heap。在比较中，结果基于相对于保存的中值的差异。优先级最高的项目是那些具有最低 ABS（值 - 中值）的项目。这需要 O(n)。
数组中的第一项现在是中位数（或它的副本），并且数组具有堆结构。使用堆提取算法根据需要提取尽可能多的最近邻居。对于 k 个最近的邻居，这是 O(k log n)。
只要 k 是一个常数，你就会得到 O(n) 中位数的中位数，O(n) heapify 和 O(log n) 提取，总得 O(n)。
【讨论】：
k == n怎么办？
k 按照惯例被假定为独立于n 的某个常数。此外，在按惯例称为“k 个最近邻居”的问题中，k 始终表示要查找的邻居的数量，它始终是恒定的（至少在独立于其他有界的意义上- 按顶点总数n)。这并非巧合 - 有一个更广泛的约定，k 代表一些常数，独立于其他变量。
med=Select(A,1,n,n/2) //finds the median
for i=1 to n
B[i]=mod(A[i]-med)
q=Select(B,1,n,k) //get the kth smallest difference
j=0
for i=1 to n
if B[i]<=q
C[j]=A[i] //A[i], the real value should be assigned instead of B[i] which is only the difference between A[i] and median.
j++
return C
【讨论】：
你可以这样解决你的问题：
你可以在 O(n) 中找到中位数，w.g.使用 O(n) nth_element 算法。
你循环遍历所有元素，用一对替换每个元素：
the absolute difference to the median, element's value.
再一次用 n = k 做 nth_element。应用此算法后，您可以保证在新数组中首先具有绝对差的 k 个最小元素。你把他们的索引和完成！
【讨论】：
absoulte difference，这解决了我在对@HalPri 的回答的评论中指出的问题
四个步骤：
当k足够小时，整体时间复杂度变成O(n)。
【讨论】：
【讨论】：
您可以在数字列表L 上使用非比较排序，例如基数排序，然后通过考虑 k 个元素的窗口并检查窗口端点来找到 k 个最近的邻居。另一种表述“查找窗口”的方式是查找 i，它最小化 abs(L[(n-k)/2+i] - L[n/2]) + abs(L[(n+k)/2+i] - L[n/2])（如果 k 是奇数）或 abs(L[(n-k)/2+i] - L[n/2]) + abs(L[(n+k)/2+i+1] - L[n/2])（如果 k 是偶数）。结合案例，abs(L[(n-k)/2+i] - L[n/2]) + abs(L[(n+k)/2+i+!(k&1)] - L[n/2])。找到最小值的一种简单的 O(k) 方法是从 i=0 开始，然后向左或向右滑动，但您应该能够在 O(log(k)) 中找到最小值。
您最小化的表达式来自将L 转换为另一个列表M，方法是获取每个元素与中值的差异。
m=L[n/2]
M=abs(L-m)
i 最小化M[n/2-k/2+i] + M[n/2+k/2+i]。
【讨论】：
你已经知道如何在 O(n) 中求中位数
如果顺序无关紧要，可以在 O(n) 中完成 k 最小的选择 求中位数的右轴最小的k，中位数的左轴最大的k
function findFirstK(list, left, right, k)
if right > left
select pivotIndex between left and right
pivotNewIndex := partition(list, left, right, pivotIndex)
if pivotNewIndex > k // new condition
findFirstK(list, left, pivotNewIndex-1, k)
if pivotNewIndex < k
findFirstK(list, pivotNewIndex+1, right, k)
不要忘记 k==n 返回原始列表的特殊情况
【讨论】：
其实答案很简单。我们需要做的就是选择与中位数绝对差最小的 k 个元素，当中位数在索引 m 处时，中位数从 m-1 移动到 0 和 m+1 到 n-1。我们使用与合并 2 个排序数组相同的想法来选择元素。
【讨论】：
所有建议从数组中减去中位数的答案都会产生不正确的结果。此方法将查找值最接近的元素，而不是位置最接近的元素。
例如，如果数组是1,2,3,4,5,10,20,30,40。对于 k=2，返回的值为 (3,4)；这是不正确的。正确的输出应该是 (4,10)，因为它们是最近的邻居。
找到结果的正确方法是使用选择算法来查找上限和下限元素。然后通过直接比较从列表中找到剩余的元素。
【讨论】：
如果你知道中位数的索引，可能只是ceil(array.length/2)，那么它应该是一个列出n(xk)，n(x-k+1)的过程， ... , n(x), n(x+1), n(x+2), ... n(x+k) 其中 n 是数组，x 是中位数的索引，k 是您需要的邻居数。（可能是 k/2，如果您想要总 k，而不是每边 k）
【讨论】：
首先选择O(n) 时间的中位数，使用该复杂度的standard algorithm。
然后再次遍历列表，选择最接近中位数的元素（通过存储最知名的候选者并将新值与这些候选者进行比较，就像搜索最大元素一样）。
在这个额外的遍历列表的每一步中，需要 O(k) 步，因为 k 是常数，所以这是 O(1)。因此，额外运行所需的总时间为 O(n)，完整算法的总运行时间也是如此。
【讨论】：
由于所有元素都是不同的，因此最多可以有 2 个元素与平均值的差值相同。我认为拥有 2 个数组 A[k] 和 B[k] 表示与平均值之差的绝对值对我来说更容易。现在的任务是通过在 A[i+1] 和 B[i+1] 之前读取读取 A[i] 和 B[i] 的数组的前 k 个非空值来填充数组并选择 k 个元素。这可以在 O(n) 时间内完成。
【讨论】：