将上下文无关语法转换为正则表达式

Question

我目前正在查看 CFG 并看到了答案，但我不确定他们是如何得到答案的。他们是怎么把它从这里的 CFG 转换成正则表达式的？

S -> aS|bX|a
X -> aX|bY|a
Y -> aY|a


answer:
R.E -> (a*(a+ba*a+ba*ba*a))

Answer 1

您应该学习我在回答"constructing an equivalent regular grammar from a regular expression" 中所写的基本规则，这些规则将帮助您将“正则表达式转换为左右衬里语法”或“左右衬里语法转换为正则表达式” - 两个都。

不过，一种语言可以有多个正则表达式（和语法/自动机）。下面，我试图解释如何在你的教科书中找到答案中给出的正则表达式。仔细阅读每个步骤并链接答案，以便您下次可以自己学习解决此类问题的方法。

首先，要回答这样的问题，您应该清楚“这种语法生成的语言是什么？” （类似地，如果您有自动机，那么请尝试理解该自动机所代表的语言）。

正如我在链接答案中所说，语法规则如：S → eS | e 对应于“plus clouser”并生成字符串e<sup>+</sup>。同样，你有三对这样的规则来在你的语法中生成a<sup>+</sup>。

S → aS | a   
X → aX | a  
Y → aY | a    

（注意：a<sup>+</sup> 也可以写成a<sup>*</sup>a 或aa<sup>*</sup>——描述一个或多个'a'。）

还要注意语法，你没有任何“空产生”，例如A → ∧，因此变量S、X 或Y 的非可为空的，这意味着空字符串不是语法语言的成员，如：ε ∉ L(G)。

如果您注意到 start-variable 的 S 生产规则：

S → aS | bX | a

那么很明显，语言中的字符串 ω 可以以符号 'a' 或以 'b' 开头（因为您有两种选择来应用 S 产生式（1）S → aS | a 给出'a'作为 ω 中的第一个符号，或 (2) S → bX 用于生成以符号 'b' 开头的字符串。

现在，L(G) 中可能的最小长度字符串 ω 是多少？ – 最小长度字符串是"a"，可以使用生产规则：S → a。

接下来请注意"b" ∉ L(G) 因为如果您使用苹果S → bX 则稍后您必须使用X 的一些生产规则替换sentential form bX 中的X，以及正如我们所知，X 也不能为空，因此在'b' 之后总会有一些符号——换句话说，来自bX 的感伤派生出 ∣ω∣ ≥ 2.

上面讨论的表格，很明显，使用S产生式规则可以生成a*a或a*bX的句子形式，分两步：

1. 对于a*，重复使用S → aS会得到S ⇝ a*S（符号⇝表示不止一个步骤）

2. 将S 替换为S ⇝ a*S 的右侧，以通过a*a 或a*bX 获得

另外，“a*a or a*bX”可以写成S ⇝ a*(a + bX) 或S ⇝ (a*(a + bX))，如果你喜欢用括号括起来完整的表达式^✎。

现在比较S和X的产生规则是一样的！因此，正如我在上面为S 显示的那样，您还可以为X 描述它可以用来生成句子形式X ⇝ (a*(a + bY))。

要导出答案中给出的正则表达式，将S ⇝ a*(a + bX) 中的X 替换为(a*(a + bY))，您将得到：

S ⇝ a*(a + b X ) S ⇝ a*(a + b (a*(a + bY)) )

现在，最后一个Y 产生规则比较简单——只需使用创建“plus clouser”a<sup>+</sup>（或a*a）。

所以让我们替换Y 也以S 派生句形式。

S ⇝ a*(a + b(a*(a + bY))) ⇝ a*(a + b(a*(a + ba*a)))

简化它，两次应用低分布以删除内括号并连接正则表达式 - P(Q + R) 可以写成PQ + PR。^✞

⇝ a*(a + b(a*(a + ba*a))) ⇝ a*(a + b(a*a + a*ba*a)) ⇝ a*(a + ba*a + ba*ba*a)

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✎ ^{: +在正式语言的正则表达式中使用两种语法 (i) +作为二元运算符的意思 - “联合运算” (ii) +作为一元上标运算符的意思 - “加 clouser”}
✎ ^{: 在编程语言的正则表达式中 + 仅用于“plus clouser”}
✞ ^{: 在正则表达式中我们使用 ∣联合符号，但 不是 完全是联合运算符。在联合中 (A ∪ B) 与 (B ∪ A) 相同，但在正则表达式中 (A ∣ B) 可能不等于 (B ∣ A)}

Answer 2

您可以从问题中观察到，除了作为 CFG 之外，语法也是右线性的。所以你可以为这个正确的线性语法构造一个有限自动机。现在您已经构建了有限自动机，它们存在一个具有相同语言的正则表达式，并且可以使用this site 中给出的步骤完成转换。