获取重叠抛物线的网格单元答案

【问题标题】：Get Grid Cells Overlapping Parabola获取重叠抛物线的网格单元
【发布时间】：2021-09-16 08:27:25
【问题描述】：

如何在抛物线上的两个点定义的区间内有效地找到与抛物线（超级覆盖）重叠的所有像素？所有坐标都是整数，网格单元的大小为 1x1。抛物线由 f(x) = ax^2 + bx 给出，其中 a 和 b 已知（假设 c = 0）

我发现了这种查找与一条线重叠的所有网格单元的实现。它如何适应使用抛物线？ http://playtechs.blogspot.com/2007/03/raytracing-on-grid.html

【问题讨论】：

【解决方案1】：

从初始点开始，然后在每一步检查接下来将与哪个单元格相交。此任务假定像素不是无大小的点，而是定义大小的单元S。初始单元格具有坐标(0,0)

使用抛物线方程我们计算抛物线与垂直线的交点x=S

y = a * S * S + b * S
y_index = floor(y/S)`

所以我们遍历单元格(0,0), (0,1)...(0,y_index)，然后直接进入(1,y_index)（y_index 可能等于零）

重复与第二级线y_index_1 = a * 2*S*2*S + b*2*S的交点，得到y_index1，标记单元格从(1,y_index)到(1,y_index1)等等。

Python 示例

import math
def markcells(a, b, S, xmax):
    newy = 0
    oldy = 0
    step = 0
    while step * S <= xmax:
        step += 1
        edgex = step * S
        newy = math.floor((a*edgex*edgex + b*edgex)/S)
        lst = []
        for y in range(oldy, newy + 1):
            lst.append([step - 1, y])
        print(lst)
        oldy = newy

markcells2(0.05, 0.1, 1, 5)

[[0, 0]]
[[1, 0]]
[[2, 0]]
[[3, 0], [3, 1]]
[[4, 1]]
[[5, 1], [5, 2]]

附言
我省略了抛物线恰好穿过单元格角的情况（当y/S 是整数时） - 为这种情况选择想要的策略：要么标记单元格，要么不标记（例如，抛物线x=2 为x=2：我们应该标记@987654336 @ 和(4,3)?)

【讨论】：

如果抛物线太陡，那么抛物线可以在峰值所在的网格 x 坐标处以相同的步长在单元格中上下移动。在这种情况下，这段代码会遗漏一些网格单元格。
值得计算抛物线顶点x坐标xv=-b/2a，对应y坐标yv=-b^2/4a+c，并分别计算抛物线的左右分支
是的，但简单地调用标记单元两次是行不通的。一种方法是将循环移动到另一个函数。在 markcells 中，执行 xmax = min(xmax, xv) 的循环，然后执行 edgex = xv 的循环体，然后以实际 xmax 作为 xmax 执行循环。