以 x,y 位置的形式获取三角形内的位置列表答案

【问题标题】：Getting a list of locations within a triangle in the form of x,y positions以 x,y 位置的形式获取三角形内的位置列表
【发布时间】：2012-02-15 22:34:11
【问题描述】：

假设我有一个由三个整数顶点 (x1,y1)、(x2,y2) 和 (x3,y3) 给出的三角形。我可以使用哪种算法来返回位于三角形内的所有（x，y）整数对的完整列表。

【问题讨论】：

这将是无限数量的点，除非您施加某种约束，例如坐标是整数？
请说明。如果@PaulR 是正确的，那么解决方案与我在回答中建议的非常不同。
你强调你想要所有对，但显然有无数对。你的意思是整数对吗？在那种情况下，这就是光栅化的问题，并且有大量关于这个主题的文献。这是一个很好的教程：joshbeam.com/articles/triangle_rasterization 您可能需要根据您所说的“内部”来调整它，因为我不知道您是否要包含边界。
现在问题已经更新以指定生成的 x,y 坐标必须是整数，知道顶点的坐标是否也是整数也可能有用？

标签： algorithm math geometry 2d computational-geometry

【解决方案1】：

下面的算法应该是合适的：

按 x 坐标升序对三角形顶点进行排序。现在我们在一侧（顶部或底部）有两段（1-2 和 2-3），另一段有一段（1-3）。
计算线方程的系数（包含线段）：
```
A * x + B * y + C = 0
A = y2 - y1
B = x1 - x2
C = x2 * y1 - x1 * y2
```
有 (x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线的两个点。
对于每个范围 [x1, x2)、(x2, x3] 和 x2（特殊情况），迭代范围中的整数点并对每个 x 执行以下操作：
1. 查找顶部边界为 y_top = (- A1 * x - C1) div B1。
2. 找到底部边界为 y_bottom = (- A2 * y - C2 - 1) div B2 + 1。
3. 将 (x, y_bottom) 和 (x, y_top) 之间的所有点添加到结果中。

此算法适用于非严格内部顶点。对于严格内部的顶点，项目 3.1 和 3.2 略有不同。

【讨论】：

【解决方案2】：

这个问题的正确名称是三角形rasterization。

这是一个经过充分研究的问题，有多种方法可以解决。两种流行的方法是：

逐行扫描。

对于每条扫描线，您都需要一些基本几何图形来重新计算行的开始和结束。见Bresenham's Line drawing algorithm。
测试边界框中的每个像素，看它是否在三角形。

这通常通过使用barycentric 坐标来完成。

大多数人认为方法 1) 更有效，因为您不会浪费时间测试三角形之外的像素，大约是边界框中所有像素的一半。然而，2) 有一个主要优势——它可以更容易地并行运行，因此对于硬件来说通常是更快的选择。 2) 编码也更简单。

原文paper 用于准确描述如何使用方法 2) 是由 Juan Pineda 于 1988 年编写的，被称为“A Parallel Algorithm for Polygon Rasterization”。

对于三角形，它在概念上非常简单（如果您学习重心坐标）。如果将每个像素转换为三角形重心坐标，alpha、beta 和 gamma - 那么简单的测试就是 alpha、beta 和 gamma 必须在 0 和 1 之间。

【讨论】：

【解决方案3】：

我喜欢光线投射，在 this Wikipedia article 中有很好的描述。出于同样的目的在我的项目中使用它。该方法也适用于其他多边形，包括凹面。不确定性能，但它很容易编码，因此您可以自己尝试（我的项目中没有性能问题）

【讨论】：

【解决方案4】：

我想您有一个要测试的配对列表（如果这不是您的问题，请清楚地说明您的问题）。您应该首先将这些对存储到四叉树或 kd-tree 结构中，以便拥有一组足够小的候选者。如果你的分数很少，这可能不值得麻烦（但如果你不这样做，它就不会很好地扩展）。

您还可以通过测试三角形的边界框来进一步缩小候选范围。

然后，对于每个候选对(x, y)，在系统中求解a, b, c

a + b + c = 1
a x1 + b x2 + c x3 = x
a y2 + b y2 + c y3 = y

（我让你解决这个问题），如果a b 和c 都是正数，则点在三角形内。

【讨论】：