在每个给定区域上查找最小值的有效方法

Question

给定一个 我们先定义两个实值函数和如下：

我们还为每个矩阵X 定义了一个值m(X)，如下所示：

现在给定一个，我们有很多G的区域，表示为。这里，G 的区域由G 的子矩阵构成，该子矩阵是从G 的一些列和一些行中随机选择的。我们的问题是计算 尽可能少的操作。是否有任何方法，例如构建哈希表或排序以更快地获得结果？谢谢！

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例如，如果G={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}，那么

G_1 could be {{1,2},{7,8}}
G_2 could be {{1,3},{4,6},{7,9}}
G_3 could be {{5,6},{8,9}}

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目前，对于每个 G_i，我们需要 mxn 比较来计算 m(G_i)。因此，对于m(G_1),...,m(G_r)，应该有 rxmxn 比较。但是，我可以注意到G_i 和G_j 可能重叠，所以会有一些其他更有效的方法。任何关注将不胜感激！

Answer 1

根据需要最小/最大类型数据的次数，您可以考虑在矩阵值之间（即值之间的空隙中）保存最小/最大信息的矩阵。因此，对于您的示例 G= {{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}} 我们将定义一个关系矩阵 R，其大小为 ((mxn),(mxn),(mxn))，其值来自集合 C = {-1 = 小于，0 = 等于，1 = 大于}。

R 将有九个关系对 (n,1)、(n,2) 到 (n,9)，其中每个值都是 C 的成员。注意 (n,n 已定义并且等于 0)。因此，R[4,,) = (1,1,1,0,-1,-1,-1,-1,-1)。现在考虑您的任何子集 G_1 ...，了解子集成员的位置关系将为您提供到 R 的偏移量，这将解析为每个 R(N,,) 的索引，这将直接返回所需的关系信息而无需比较。

当然，您必须确定构建 R 的空间和计算开销是否超过了每次需要时计算所需内容的成本。某些优化包括实现 R 矩阵沿主对角线反射并且您可以声明“等于”被调用，例如，小于（意味着 C 只有两个值）是可用的。根据原始矩阵 G，如果知道行或列已排序，则可以进行其他优化。

并且由于某些计算机（大型机、超级计算机等）以列优先顺序将数据存储到 RAM 中，因此请存储您的数据集，以便它填充转置的行和列，从而允许列到列类型的操作（向量计算) 来实际支持这些列。检查您的架构。