生成 Hadamard 矩阵的算法运行时间

Question

我正在尝试设计一种算法来使用分而治之的技术生成 Hadamard 矩阵。为此，我决定使用四个递归调用来生成矩阵的每个项，然后在每个步骤中继续递归调用，以获取少一个值的 Hadamard 矩阵。例如，H(3) 分为 4 个 H(2) 项，其中一项为负，依此类推，直到 H(0)。在计算递归关系时，我最终得到了

C(n) = 4C(n-1) + 1.

但是，分而治之是否应该包括输入的除法而不是减 1？但从概念上讲，我认为将矩阵划分为较小矩阵的子集将符合分而治之的要求。无论如何，我最终得到了 4^n 的运行时间。这对我设计的算法准确吗？

Answer 1

这是准确的。给定n的解释，最终矩阵是2^n-by-2^n，带有4^n元素。涉及m 的重复出现，元素的数量，将是

T(m) = 4T(m/4) + 1,

使用O(m) 的解决方案。