如何按总人数和总价值在工人之间平均分配工作？

Question

我在处理分发问题时遇到了问题。

我有工人和工作案例。每个工作案例都有一个值。我需要分配工作案例，以便所有工作人员获得相同数量的总价值相似的案例（如果可能）。

总病例数和工人数是随机的。

解决这个问题的最佳方法是什么？我完全被卡住了。

我的第一个想法是按价值排序，然后像这样分发：

public class WorkCase
{
    public decimal Value { get; set; }
}

public class Worker
{
    public List<WorkCase> Cases { get; set; }
}

public static void Sort(List<WorkCase> cases, List<Worker> workers)
{
    cases = cases.OrderByDescending(c => c.Value).ToList();

    var wCount = workers.Count;

    int i = 0;

    while (cases.Any())
    {
        workers[i].Cases.Add(cases.First());

        if (i == workers.Count - 1)
           i = 0;
        else
           i++;
    }
}

但这对最后一个工人并不公平。 感谢您的帮助。

Answer 1

正如 Morinator 已经提到的，这是背包问题的一种变体，不存在完美的解决方案（除了纯粹的暴力破解和幸运地拥有完美匹配的数字）。

但是你可以相当接近。需要注意的是，较大的案例不如较小的案例灵活。举一个现实世界的例子，如果我想让你精确填充给定的容器，使用沙子比使用鹅卵石甚至岩石更容易。

这个真实世界的例子实际上在这里很有帮助。如果您想在最大限度地提高岩石/沙子比例（即尽可能多的岩石）的同时包装该容器，请先用岩石填充容器，然后使用沙子填充间隙。

您可以在此处使用您已经尝试过的完全相同的方法：首先分配最大的案例，最后分配最小的案例。但是，您的代码存在错误，因为您重复分配最大的案例而不是继续下一个案例。

因为您有多个工人，所以有一个次要考虑因素：尽可能将大型案例分配给他们。最简单的方法是始终将案例分配给当前工作量最低的工人（如果出现平局，您选择谁并不重要，只需选择第一个被捆绑的工人）。

修复您的代码：

public static void Sort(List<WorkCase> cases, List<Worker> workers)
{
    cases = cases.OrderByDescending(c => c.Value).ToList();

    foreach(var case in cases)
    {
       // Find the worker with the lowest case load

       var workersByCaseLoad = workers.OrderBy(w => w.Cases.Sum(c => c.Value);
       var workerWithLowestCaseLoad = workersByCaseLoad.First();

       // Assign this case to that worker

       workerWithLowestCaseLoad.Cases.Add(case);
    }
}

这并不总是为您提供与案例负载完全匹配的完美解决方案，但它是一个合理的近似值。有一些结果不是最佳的边缘示例，但这种情况很少见。
为了避免这些边缘情况，您的代码的复杂性必须显着增加。在大多数情况下，付出的代价是不值得的。

请注意，这可能不是最高效的解决方案，因为它涉及许多集合迭代。但假设工人数量和案件量合理（假设在一家公司内作为一个被吐槽的边界），考虑到今天的硬件，这应该不是问题。一些优化可以通过手动跟踪每个工人的总案件量来完成，类似于：

var workersByCaseLoad = workers.OrderBy(w => w.TotalCaseLoad);
var workerWithLowestCaseLoad = workersByCaseLoad.First();

workerWithLowestCaseLoad.Cases.Add(case);
workerWithLostCaseLoad.TotalCaseLoad += case.Value;

它不是很干净（它需要您手动处理这些值并始终保持完美同步），但它确实避免了每次都必须遍历每个工作人员分配的案例。

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有趣的是，在处理开始时不知道完整案例列表的情况下（这意味着您无法对案例进行排序），该系统也能很好地工作。只要您将下一个案例分配给负载最低的人，它仍然是一个同样公平的游戏。

如果您的最后几个案例过大，您最终可能会得到一个不太完美的解决方案。这样想：你已经让事情保持平衡，然后必须分配一个更大的案例。这总是会导致问题。

但是如果你不能提前知道案例列表，那么你就不能指望对它们进行排序，然后你会得到一个不太完美但仍然合理平衡的结果。

Answer 2

这个问题听起来可能是 NP 难题。看看Knapsack-Problem，也是类似的。如果您没有限制每个工作人员的案例数量，您可以将workCases 按value 降序排序，然后始终将下一个workCase 分配给当前负载最低的工作人员。请注意，即使这种算法也不一定会产生最佳结果。

您可以尝试的另一件事是，首先为每个工人分配正确数量的随机作业，然后反复找到负载最低和最高的工人，让他们从低负载的工人和来自大负荷工人的轻松工作。
请注意，此解决方案也只是一种启发式方法，可能不会产生最佳结果。

但同样，这个问题似乎没有快速完美的解决方案，尝试找到一个 NP-hard 问题并将其简化为您的问题，以表明它无法解决（现在对您而言）。