所有数字的乘法（2个数字之间）python

Question

我正在解决一个问题（这是我之前问过的 this 问题的扩展，可以在 here 找到）要求我计算两个数字之间的数字相乘，然后计算幂：

我的第一个方法很简单：

    n0=n+1
    n1=n0+1
    while n1<=(p-1):
        n0=n1%p*n0%p
        n1+=1
    print  p-pow(n0,(p-2),p) 


constraints:
1 < P <= 2*10^9 , a prime number 
1 <= N <= 2*10^9
Abs(N-P) <= 1000

这里我的代码计算 n( 但是当约束变为

0 < N < 4×10^18
1 < P < 4×10^18, a prime number
Abs(N-P) < 10^4

对于这些限制，我的解决方案很慢，并且超出了时间限制。我搜索了各种改进代码的方法。我发现了一个很棒的算法，它可以在O(loglog nM(nlogn)) 时间计算阶乘，其中M 是两个数字相乘的时间复杂度。 该算法首先计算素数，然后计算 n 中素数的指数！然后最后将它们全部相乘（您可以在 here 上看到更多信息）。但是如果我在我的问题中实现这个解决方案，我认为它不会有帮助，因为约束太大而无法在相当长的时间内计算所有素数本身，我只需要找到最多10**4 连续数字的乘法。于是我放弃了这个想法，转而寻找乘法。

我发现 python 乘法速度足够快，它使用“Karatsuba 算法”，实现 Schönhage–Strassen 算法是不明智的（因为我首先想到的是实现这个） 除非至少有 10,000 位数字（因为只有它才能执行 karatsuba）。

而且内置的pow() 也非常快（this file 的第 1426 行显示了实现 math.pow 的 Python 代码，但基本上归结为它调用了可能具有高度优化版本的标准 C 库该函数的）来计算我的约束范围内的幂。

现在我想不出任何其他方法来提高我的代码的时间复杂度。关于时间限制，有人可以帮我找到优化或完全不同且更好的解决方案吗？

我正在解决的问题是here。

Answer 1

[编辑]Stirling's formula 表示对于大的N，您可以用日志近似N!，对于计算机来说更容易处理的数字：

N! % p =~ exp((N* ln(N) - N)) % p

对于小数，保留阶乘以获得更高的精度。

Answer 2

一个简单的 *2 加速可以来自将代码更改为：

n0=n+1
for n1 in range(n0+1,p):
    n0 = (n0 * n1)%p
return p-pow(n0,(p-2),p) 

每次迭代只进行一次模运算。

额外的 10 倍加速可以来自预先计算阶乘。 您将乘以从 n+1 到 p-1 的所有值，这与乘以 -1 到 n+1-p 相同。所以你可以预先计算一个数组 A[x] 等于 -1*-2...*-x 的乘积，并使用这个预先计算的值而不是循环。

（请注意，您需要将此预先计算的数组保持在其完整的整数精度中，因为在预先计算期间您不知道您将使用哪个素数。）

预计算代码为：

t=1
A=[1]
for y in range(1,10**4+1):
    A.append(t)
    t*=-y

然后对于您计算的每种情况：

return 0 if n>=p else p-pow(A[p-n]%p,(p-2),p)