在集合列表中查找不相交集合对的数量

Question

问题陈述如下：给定n个集合的列表，每个集合包含k个整数，找出不相交集合对的数量。假设集合的可能元素是正的，并且以 c > n 为界，并且假设 k

我正在尝试提出一种有效的算法来比 O(kn^2) 更快地解决这个问题，这是天真的解决方案的运行时间。

我能想到的最佳策略是遍历列表中的每个集合，并对集合中的元素进行散列处理，以便集合中的每个元素映射到包含它的集合的一组索引。然后，对于迭代中的当前集合，使用它的 c 个元素作为键，并考虑由哈希表作为值给出的 c 个索引集合的并集。这个结果集表示到目前为止遇到的与当前集不相交的集的数量，我们可以使用它来查找不相交集的数量。在整个迭代中对这个值求和会产生正确的答案。但是，由于联合操作是 O(n)，因此该策略的效果并不比朴素解决方案好。

这个问题最有效的解决方案是什么？

Answer 1

作为k

• 对每组进行排序，可以是n * k * log(k)
• 然后按第一个最后一个元素对所有集合进行排序，n * log(n)

现在比较需要 n * (n - 1) 次操作，分别是：

• 将 s1.Last 与 s2.First 进行比较（应该是大多数情况，如 k
• 考虑到 s1 和 s2 已排序，或者有效地搜索在 k 中最大的 s1 s2 交集