沿循环的最大流量

Question

我有一个有向图，我想找到我可以沿着循环（循环）发送的最大流量。 标准的 Ford-Fulkerson 方法可以通过增加路径（在这种情况下为循环）起作用，还是我需要一些特别的东西？ 没有源/汇，我只想循环发送流。

我想要最大化的数量是 Sum(f(i,j))，其中 f(i,j) 是沿着该边缘的流量，在所有边缘上，低于常规最大值。流约束（每条边都有一个非负的有限容量，并且每个顶点的流入（v）=流出（v））。

Answer 1

你需要做一些比扩充更复杂的事情。问题是，一旦您沿着循环发送流，您可以插入或不插入向后的剩余弧。如果你这样做了，那么没有什么能阻止你将流量发送回它的来源。如果你不这样做，那么你可以增加错误的循环。比如在图中

c-->d
^   |
|   v
b-->e
^   |
|   v
a<--f

如果所有弧都有单位容量，您可能会增加 a->b->e->f->a 并错过更长的循环 a->b->c->d->e->f->a。

相反，您要做的是运行 Bellman--Ford（或其他一些允许负长度的最短路径算法）来找到一个前向弧多于后向弧的循环并将其饱和。 （如果不存在这样的循环，那么你就有了一个最优解。）然后你会得到一个 O(OPT poly(n)) 边界，就像在 Ford--Fulkerson 中一样，其中所有弧都有整数容量，而 OPT 是最优目标值。您可以在circulation problems/network simplex 上搜索文献进行优化。

检测前向弧多于后向的循环：将每个前向弧的长度设置为-1，将每个后向弧的长度设置为1。将每个顶点的距离标签初始化为0（模拟人为的效果没有传入弧和长度为 0 的弧到彼此顶点的源）。运行 Bellman--Ford 判断是否存在负长循环。