这个 MSP 是 TSP 的一个实例吗？答案

【问题标题】：Is this MSP an instance of the TSP?这个 MSP 是 TSP 的一个实例吗？
【发布时间】：2013-08-27 02:25:15
【问题描述】：

在他的书算法设计手册中，Steven S. Skiena 提出了以下问题：

现在考虑以下调度问题。想象一下，您是一个需求量很大的演员，他收到了在 n 个正在开发的不同电影项目中出演的邀请。每个优惠都在拍摄的第一天和最后一天指定。要接受这份工作，您必须承诺在整个期间都有空。因此，您不能同时接受两个间隔重叠的工作。

对于像你这样的艺术家，接受工作的标准很明确：你想尽可能多地赚钱。因为这些电影中的每部都为每部电影支付相同的费用，这意味着您要寻找尽可能多的工作（间隔），这样它们中的任何一个都不会相互冲突。

例如，考虑图 1.5 [上图] 中的可用项目。我们最多可以出演四部电影，分别是“离散”数学、编程挑战、计算赌注以及 Halting State 或 Steiner's Tree 之一。

您（或您的代理）必须解决以下算法调度问题：

问题：电影调度问题

输入：一组I行n个区间。

输出： 可以从 I 中选择的相互不重叠区间的最大子集是什么？

我想知道，这是 TSP 的一个实例（也许是一个简化的实例）？

【问题讨论】：

肯定不是 TSP。稍后您会发现一两页，这个问题可以有效地解决（不确定是否是线性时间，但最坏的情况是 Theta(n log n)），并且您稍后会发现几百页， TSP 无法有效解决。
@delnan，那么这个问题的分类是什么？
嗯，分类是什么意思？我可以告诉你它在复杂性层次结构中的位置（至少在 P 中），但可能不是你的意思。
@delnan，我的意思是：这个问题从根本上归结为一个普遍的、众所周知的问题吗？我的第一个猜测是 TSP，但我现在怀疑是不是背包问题。
不，由于我在第一条评论中所述的原因，任何 NP 问题都是正确的。我会说这是一个“普遍的、众所周知的问题”。只是不像许多 NP 问题那样出名，因为它既不与著名的未解决问题 (P?=NP) 相关，也不在实际应用中非常常见（如排序）。

标签： algorithm traveling-salesman

【解决方案1】：

以下是解决此问题的方法：

创建一棵树，其顶点为胶片，边缘为重叠。也就是说，如果两个顶点的时间表重叠，则两个顶点由一条边连接。因此，这个问题可以重述如下：“给定一个图 G，找到未连接顶点的最大子集。”
现在可以将上述问题与已知的 NP-hard 问题联系起来。具体来说，创建一个具有相同顶点和互补边的图 G'。也就是说，如果原始图 G 没有，则 G' 在顶点之间有一条边。现在问题可以重述如下：“给定一个图 G' 找到最大团，其中团是所有顶点相互连接的子集。”

Clique 是一个众所周知的 NP-hard 问题。因为您的调度问题等同于 Clique - 瞧！这也是NP难的。

【讨论】：

@delnan 指出问题不在于 NP 空间。那么，他错了吗？
要使这个论点起作用，你需要换个方向——取一个任意图并找到一组与之对应的电影。然而，这是不可能的，事实上，提问者的问题有一个多项式时间的解决方案。
你是对的，菜鸟的错误，走反了。 :(
如果你反转它，并在所有不重叠的电影之间放置边缘，你可以通过找到通过生成的 DAG 的最长路径来解决它。
尼克，好主意，只是它将是无向图而不是 DAG。

【解决方案2】：

只需选择完成日期最早的电影，然后从那里开始，O(n^2) 流程即可解决此问题（可能有更快的解决方案）。由于我们找到了多项式时间解，因此它不是 TSP 的实例，除非：(1) P=NP，并且 (2) (1) 的证明非常简单。

【讨论】：