你能帮忙解释一下这个 Held-Karp TSP 伪代码吗？

Question

我正在尝试按照以下伪代码实现旅行商问题的 Held-Karp 算法：

（我在这里找到：https://en.wikipedia.org/wiki/Held%E2%80%93Karp_algorithm#Example.5B4.5D）

我可以手动完成算法，但在代码中实际实现它时遇到了麻烦。如果有人能提供一个易于理解的解释，那就太好了。

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这个我也不明白：

我以为这部分是为了设置从起始城市到连接城市的距离。如果是这样，那不是C({1}, k) := d1,k而不是C({k}, k) := d1,k吗？我只是完全误解了这一点吗？

我还听说这个算法在大约 15-20 个城市之后表现不佳，所以对于大约 40 个城市，有什么好的替代方案？

Answer 1

Held-Karp 是一种dynamic programming 方法。

在动态编程中，您将任务分解为子任务，并使用“动态函数”使用较小子任务的已计算结果来解决较大的子任务，直到最终解决您的任务。

要了解 DP 算法，必须了解它如何定义子任务和动态函数。

在 Held-Karp 的情况下，子任务如下：

对于给定的一组顶点S 和一个顶点k （1 ∉ S, k ∈ S）

C(S,k) 是从顶点1 开始，遍历S 中的所有顶点并以顶点k 结束的路径的最小长度。

鉴于这个子任务定义，很清楚为什么初始化是：

C({k}, k) := d(1,k)

从1 到k 的路径的最小长度，穿过{k}，只是从1 到k 的边。

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接下来是“动态函数”。

附带说明，DP 算法可以写成top-down or bottom-up。此伪代码是自下而上的，这意味着它首先计算较小的任务，然后将其结果用于较大的任务。更具体地说，它以集合S 的大小递增的顺序计算任务，从|S|=1 开始直到|S| = n-1（即S 包含除1 之外的所有顶点）。

现在，考虑一个由S, k 定义的任务。请记住，它对应于从1，到S，以k 结尾的路径。

我们把它分解成：

• 从1 开始的路径，通过S 中的所有顶点，除了k (S\k)，它以顶点m 结束 (m ∈ S, m ≠ k)：C(S\k, m)
• 从m 到k 的边

很容易看出，如果我们像这样查看所有可能的方法来破坏C(S,k)，并找到它们之间的最小路径，我们将得到C(S, k)的答案。

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最后，在计算出所有C(S, k) 和|S| = n-1 之后，我们检查所有这些，完成从k 到1 的缺少边的循环：d(1,k)。最小循环就是最终结果。

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关于：

我还听说这个算法在大约 15-20 个城市之后表现不佳，所以对于大约 40 个城市，有什么好的替代方案？

Held-Karp 的算法复杂度为 θ(n²2ⁿ)。 40² * 2⁴⁰ ≈ 1.75 * 10¹⁵ 我想说，在合理的时间内在单台机器上计算是不可行的。

正如 David Eisenstat 所建议的那样，有一些使用 mixed integer programming 的方法可以在 N=40 时足够快地解决这个问题。

例如，请参阅this blog post 和基于它的this project。