逆向图上的 Dijkstra 算法答案

【问题标题】：Dijkstra's algorithm on a reverse graph逆向图上的 Dijkstra 算法
【发布时间】：2019-04-06 20:11:12
【问题描述】：

如果我们将图 G 反转为 G' 并从源顶点 't' 对 G' 运行 Dijkstra 算法，该算法是否会给出从 G 中的所有顶点到 't' 的最短路径。有人可以证明或找到反例吗?

【问题讨论】：

它将给出 G' 中 from t 的最短路径。但是，如果这就是您的意思，那么这些确实等效于 G 中到 t 的最短路径。鉴于当然存在这样的最短路径，即没有负循环，并且顶点是连接的。
矛盾证明似乎有效。

标签： algorithm data-structures graph-theory dijkstra

【解决方案1】：

首先，如果 G 是一个无向图。反向图上的最短路径没有区别。

其次，如果 G 是一个有向图，并且如果我们仔细研究 Dijkstra 的，它只会说明在邻居中选择最短边。所以我想它也会起作用。

【讨论】：

【解决方案2】：

简短回答：是的，您的陈述在有向图中是正确的

在无向图G 中，反转G' 将产生相同的图G，因此，当您找到从源顶点s 到所有其他顶点的最短距离时，您会自动找到从所有顶点到s 的最短路径，因为图形可以反向遍历（无向）。

在有向图中，当您找到从s（源）到所有其他顶点（目的地）的最短路径时，您将沿着单一方向行驶，从source--->destination_1，从@987654330 @--->destination_2，来自source--->destination_3...

因此，如果您反转图表中的所有方向，所有最短路径将是：到source<---destination_1，到source<---destination_2，到source<--- destination_3 ... 请注意这些路径将与以前不同 即当您在G' 上运行Dijkstras 时，算法认为它正在寻找从s 到的最短路径所有d，而实际上，由于您颠倒了方向，因此最短路径箭头实际上指向相反方向，从而为我们提供了从所有d 到s 的最短路径，而不是从s 到@ 987654352@的。

Graph G:  

       7           +++++  
   //===>===>====>/ D2 /  
  //              +++++  
 //   /--<<---<--/   /|\
s <---         2      | 1 
 \\   \__<<___        |
  \\      9    \      |
   \\           \ +++++  
    \\===>=====>/ D1 /  
          10    +++++  


Graph G':

       7           +++++
   /----<----<---</ D2 /
  /               +++++
 /    //==>>====>==/   ||
s >===       2         || 1
 \    \__>>___         || 
  \      9    \       \||/
   \           \ +++++
    \---<------</ D1 /
          1     +++++

如上所示，在 G 中，从 s 到 d1 的最短路径是 s -> d1，从 s 到 d2 是 s -> d2（以双线显示 (=, @ 987654361@, //))。

在反转方向时，但不是权重（显然），我们看到从 s 到 d1 的最短路径是 s -> d2 -> d1 和从 s 到 d2 的最短路径是 s -> d2 Djikstras 算法的输出。

如果您现在将方向设置为原来的方向，显然所有选择的路径实际上都是最短路径到 s 而不是来自s。

Graph G:

       7           +++++
   /---->---->--->/ D2 /
  /               +++++
 /    //==<<===<==/   /||\
s <===       2         || 1
 \    \__<<___         || 
  \      9    \        ||
   \           \ +++++
    \--->------>/ D1 /
          1     +++++

P.S.：我知道演示文稿不是那么好。对不起。

【讨论】：