使用邻接矩阵区分图和树

Question

给定一个邻接矩阵，有没有办法确定图是树还是图（是否有循环）。

例如，给定邻接矩阵：

0 1 0 1
1 0 0 1
0 0 0 1
1 1 1 0

这不是一棵树，因为在顶点 1、顶点 2 和顶点 4 之间存在一个循环。

鉴于邻接矩阵：

0 0 0 1
0 0 0 1
0 0 0 1
1 1 1 0

这是一棵树，因为没有循环。

解决此问题的一种方法是执行 BFS，但我认为图的邻接矩阵和树的邻接矩阵之间可能存在视觉差异。

任何帮助将不胜感激！

Answer 1

您可以使用具有 N 个节点的树恰好具有 N-1 条边这一事实。表示树的任何邻接矩阵将恰好有 2(N-1) 个 1，因为每个边在矩阵中设置两个位（对角线上没有 1，因为树没有自边）。此外，由于必须连接树，因此每行和每列必须至少有一个 1。如果允许您假设对角线对称（即它是一个有效的邻接矩阵），那么每行至少检查一个 1 就足够了。

但是，这些只是初步检查，我认为没有 BFS 或类似的东西，没有简单的方法来实际显示连接。