Haskell：递归定义函数值的有效计算答案

【问题标题】：Haskell: effective computation of recursively-defined function valuesHaskell：递归定义函数值的有效计算
【发布时间】：2012-05-24 20:23:30
【问题描述】：

我想计算递归定义的函数值r(i,j)，由

定义

r i j  | i<0 || j<0   = 0
       | i==0 && j==0 = 1
       | otherwise    = (i-1) * r (i-2) j + r (i-1) (j-1)

显然，这些系数的NxN 表可以在O(N^2) 中计算。不幸的是，直接的评估，就像

[[r i j | j <-[0..50]]| i <- [0..50]]

以极其无效的方式执行（指数复杂度）。显然，Haskell 为每个 r i j 构建了整个递归树，并忽略了先前计算的 r (i-1) (j-1) 等的值。

计算这样一个表的优雅而有效的方法是什么？

【问题讨论】：

...我不知道haskell，但似乎您想要动态编程。（谷歌）
你想要memoization，见haskell.org/haskellwiki/Memoization
如果您只想要一个值，而不是整个表，您可能想要计算递归系列的生成函数。我不是这方面的专家，但我曾经在关于离散数学/组合学的讲座中听说过。也许 math.stackexchange.com 的小伙伴们能够在这方面为您提供帮助。我与这种数学相关的词是“本影演算”、“gosper 算法”和“Zeilberger 算法”。也许有帮助。

标签： algorithm haskell functional-programming complexity-theory recurrence

【解决方案1】：

正如 FUZxxl 所说，这是一个记忆问题。

r i j | i < 0 || j < 0 = 0
      | otherwise      = rss !! i !! j

rss = [[r' i j | j <- [0..]] | i <- [0..]]
  where r' 0 0 = 1
        r' i j = (i-1) * r (i-2) j + r (i-1) (j-1)

如果您需要精确到 50 的值的显式表，您可以使用 take 51 (map (take 51) rss) 或 [[r i j | j <-[0..50]]| i <- [0..50]]，正如您所提到的。否则，您可以直接致电r 或参考rss。

【讨论】：

这仍然比它可能的慢，因为访问将是 O(i+j)。如果您将自己限制为给定的大小，则数组更适合（惰性数组，未拆箱）O(1) 访问，如果您想要无限制，则 trie of trie (IntMap) 仍应比列表更快列表。
如果你有品位，讨厌数组库 API，那么请改用 vector。