时间复杂度解决方案

Question

帮我解决这个递归关系

T(n) = 8T(n/2) + qn , n > 1

= p , n = 1

答案是：n^3

请用回代法解决。

以下是我对这个问题的尝试。

Answer 1

你做得对：

T(n) = 8T(n/2) + qn 
=>  T(n) = 8(8T(n/4) + q(n/2)) + qn = 8^2 T(n/2^2) + q(n + 8 * n/2)
=>  T(n) = 8^2‌(8T(n/2^3) + q(n/2^2)) + q(n + 8 * n/2)
         = 8^3 T(n/2^3) + q ( n + 8 * n/2 + 8^2 * n/2^2)

现在通过归纳（如果我们假设 n = 2^k 和 T(1) = 1）：

T(n) = q * sum_{i=0}^{k} 8^i * n / 2^i

现在，根据我们知道的8^i / 2^i = 4^i 简化等式，并从总和中分解n，我们有：

T(n) = q * n * sum_{i=0}^{k} 4^i = q * n * (4^k - 1)

作为4^k = 2^{2k} = (2^k)^2 = n^2，我们可以这样写：

T(n) = q * n * (n^2 - 1) = Theta(n^3)