找到两个线段的交点[重复]

Question

我有两个相交的线段 A 和 B（每个由两个点定义）。 X 点是 A 和 B 的交点。 如何找到 X 的坐标？

Answer 1

假设您在分段 A 上的两个点是 (x1, y1) 和 (x2, y2)。这两点足以确定直线方程：

y - y1 = slope.(x - x1) 
where slope is = (y2-y1)/(x2-x1)

因此，使用此技巧，您可以找到段 A 和 B 的方程。对于每个段，这些方程的格式为 y = p_A + q_A x and y = p_B + q_B x。

两个线段相交的点(x*, y*) 是y* = p_A + q_A x* 和y* = p_B + q_Bx* 的位置，因此p_A + q_A x* = p_B + q_B x*。从这里你有x*,的值，你可以通过在任何段的方程中替换这个x值来找到y*。

希望这会有所帮助！

Answer 2

我假设您在二维中工作。让我们介绍一些符号。让第一条线段由点定义

P₁ = (x₁, y₁)

和

P₂ = (x₂, y₂).

第二条线段由点定义

P₃ = (x₃, y₃)

和

P₄ = (x₄, y₄).

第一条线段上的任意一点都可以用参数表达式来表示

s P₁ + (1 - s) P₂

其中 s 是一个介于 0 和 1 之间的实数。同样，第二行上的任何点都可以类似地表示为

t P₃ + (1 - t) P₄.

交点是这两个表达式相等的地方：

s P₁ + (1 - s) P₂ = t P₃ + (1 - t) P₄

将其简化为 x 和 y 坐标会在两个未知数中产生两个方程，s 和 t。求解 s 和/或 t 然后通过代入原始方程得到交点。

请注意，即使其中一条线段恰好具有无限斜率，使用这样的参数线表示（与计算斜率截距形式的方法不同）也有效。

另外，作为额外的奖励，如果 s 或 t 最终超出范围 [0, 1]，则两行 segments 不相交（包含线段的线在一个或两个线段之外的某处相交）。最后，如果两个联立方程没有解，则包含两条线段的线是平行的。 （它们甚至可能在同一条线上。区分这种情况，包括线段是否在端点处相遇或部分或完全重叠，留给读者练习。:)）