Kruskal 算法的时间复杂度？答案

【问题标题】：Time Complexity of the Kruskal Algorithm?Kruskal 算法的时间复杂度？
【发布时间】：2013-12-24 07:54:53
【问题描述】：

我正在计算这样的 kruskal 算法的时间复杂度（请参阅附件中的算法）

T(n) = O(1) + O(V) + O(E log E) + O(V log V)
     = O(E log E) + O(V log V)
as |E| >= |V| - 1
T(n) = E log E + E log E
     = E log E

CLRS 算法：

是正确的还是我做错了什么请告诉。

【问题讨论】：

请告诉我第4行和第5-9行的复杂性
第 5-9 行将不是 VlogV；循环针对每条边运行，因此它将是 E*(something)。 findset 和 union 需要 logV 时间，总体 5-9 应该需要 E.logV 时间。所以整体复杂度来了：O(ElogE + ElogV)。因为 E 可以至少为 O(V) 并且最多为 O(V^2)；术语 ElogE 总是大于或等于 ElogV；因此总体上它的 O(ElogE)。
@SpawN 对不起，我没有得到这部分：“因为 E 至少可以是 O(V) 和最多 O(V^2)” 我可以理解 E 可以至少是 V - 1次为什么最多 V^2 ？以及为什么我们要考虑这个“ElogE 总是大于或等于 ElogV？”
@MrA 对于 v 个顶点，最大边可以是 v*(v-1)/2，即 O(V^2)。 v 个顶点至少需要 (v-1) 条边（连通图），因此需要 O(V)。

标签： algorithm time-complexity graph-algorithm asymptotic-complexity kruskals-algorithm

【解决方案1】：

克鲁斯卡尔是 O(E log E);你的推导是正确的。你也可以说 O(E log V) 因为 E

【讨论】：

但是为什么 O(E log V) 比 O(E log E) 更可取？是因为通常图形复杂性在公式中同时使用 E 和 V？
Elog(V) 可以在此处简化为 Elog(V^2) [ e = v^2 in most best case // complete graph ] 所以 Elog(V^2) E) 写成 O(VE) 只是为了同时拥有两个变量。
您甚至可以使用计数排序来减少排序时间。这不会产生总体影响，但在实施过程中可能会有用。

【解决方案2】：

自从 |V| > |E|+1，我们更喜欢使用 V 项而不是 E 项的严格上限。

    |E| <= |V|²   
.   log |E| < log |V|²   
.   log |E| < 2 log |V| 
.   running time of MST-KRUSKAL is: O(E log V)

【讨论】：

假设图是连通的，所以不应该是|V| |V| = |E| + 1. 通过添加更多的边，你会得到一个有环的图，所以 |V|
另外，对于那些可能无法立即理解的人|E|

【解决方案3】：

抱歉回复晚了。
Kruskal 算法的运行时间是 O(E log E) 而不是 O(E log V)。

因为，必须首先对边进行排序，并且它需要 O(E log E)，它在运行时中占主导地位，以验证所考虑的边是否是安全边，这将花费 O(E log V)。和 |E| > |V|((如果图已经是一棵树，则为极端情况))，因此可以安全地假设运行时为 O(E log E)

【讨论】：

对，但是E不能超过V * V，也就是说log(E)
是的，我也在 CLRS 中找到了相同的声明。我也同意这一点，但我觉得 O(ElogE) 会是一个更严格的上限。底线：O(ElogE) 和 O(ElogV) 应该可以工作
对此有任何参考吗？
参考：people.cs.umass.edu/~barring/cs611/lecture/7.pdf -- 我还没有完全验证。只是略读并被说服。所以，请用少许盐完成
@Bandrami 你不认为相反的情况也会发生。 E在O(V)和O(VV)之间。因此，如果您尝试将 logE 与 logV 进行比较，E 至少为 O(V)，那么不会使 logE > log V 吗？这就是为什么我觉得 O(ElogE + ElogV) = O(ElogE);但是，我仍然不能不同意 EV 所以 logE

【解决方案4】：

第 5 到 9 行，复杂度为 O(E)。

O(E)
O(1)
O(1)
O(1)
O(1)

直到第 5 行，您已经正确计算了复杂性。最后，这里的主导因素是 O(E lg E)。所以，复杂度是 O(E lg E)

【讨论】：

【解决方案5】：

所有其他答案都是正确的，但我们可以考虑以下情况，这给了我们 O(|E|) 的时间复杂度。
以下答案来自Algorithms book by Dasgupta，第 5 章，第 140 页，部分路径压缩：
在该算法的时间复杂度计算中，主要部分是边缘排序部分，即 O(|E| log|E|) 或所有其他答案解释为 O( |E|.log|五|）。

但是，如果给定的边是排序的呢？
或者如果权重很小（比如 O(|E|)），那么可以在线性时间内完成排序（比如应用 counting sort）。
在这种情况下，数据结构部分成为瓶颈（Union-find），考虑将其性能提高到每个操作的 log n 之外是有用的。解决方案是使用路径压缩方法，同时执行 find() 操作。

这个摊销成本仅略高于 O(1)，低于早期的 O(log n)。更多详情请查看this reference。简单的想法是，每当调用 find(v) 操作来查找 v 所属的集合的根时，所有节点到其父节点的链接都将改变并指向根。这样，如果您在同一路径上的每个节点 x 上调用 find(x) 操作，您将在 O(1) 中获得集合的根（标签）。因此，在这种情况下，算法瓶颈是联合查找操作，使用所描述的解决方案是 O(1)，该算法在所描述情况下的运行时间是 O(|E|)。

【讨论】：

【解决方案6】：

O(ElogE) 肯定是 O(ElogV)，因为 E

ElogE

【讨论】：