计算 Logistic 损失函数的值 AND 梯度时避免数值溢出

Question

我目前正在尝试在 MATLAB 中实现涉及 logistic loss function 的机器学习算法。不幸的是，由于数值溢出，我遇到了一些麻烦。

一般来说，对于给定的输入s，逻辑函数的值为：

 log(1 + exp(s))

逻辑损失函数的斜率为：

 exp(s)./(1 + exp(s)) = 1./(1 + exp(-s))

在我的算法中，s = X*beta 的值。这里X 是一个矩阵，具有N 数据点和P 每个数据点的特征（即size(X)=[N,P]），beta 是P 系数的向量，每个特征使得size(beta)=[P 1]。

我对计算给定值beta 的 Logistic 函数的平均值和梯度特别感兴趣。

Logistic 函数 w.r.t 对beta 的平均值为：

 L = 1/N * sum(log(1+exp(X*beta)),1)

Logistic 函数的斜率平均值 w.r.t. b 的值是：

 dL = 1/N * sum((exp(X*beta)./(1+exp(X*beta))' X, 1)'

注意size(dL) = [P 1].

我的问题是这些表达式不断产生数字溢出。问题实际上来自以下事实：exp(s)=Inf 时 s>1000 和 exp(s)=0 时 s<-1000.

我正在寻找一种解决方案，使s 可以采用浮点运算中的任何值。理想情况下，我也非常感谢能够让我以矢量化/有效方式评估值和梯度的解决方案。

Answer 1

以下近似值如何：

– 计算L，如果s很大，那么exp(s)会比1大很多：

1 + exp(s) ≅ exp(s)

因此

log(1 + exp(s)) ≅ log(exp(s)) = s.

如果s很小，那么使用exp()的Taylor series

exp(s) ≅ 1 + s

并使用泰勒级数的 log()

log(1 + exp(s)) ≅ log(2 + s) ≅ log(2) + s / 2.

– 用于计算dL，用于大型s

exp(s) ./ (1 + exp(s)) ≅ 1

对于小号s

exp(s) ./ (1 + exp(s)) ≅ 1/2 + s / 4.

– 计算L 的代码可能如下所示：

s = X*beta;
l = log(1+exp(s));
ind = isinf(l);
l(ind) = s(ind);
ind = (l == 0);
l(ind) = log(2) + s(ind) / 2;
L = 1/N * sum(l,1)

Answer 2

我找到了a good article about this problem。

通过大量的文字，我们可以将论证简化为陈述原始表达式

log(1 + exp(s)) 

可以改写为

log(exp(s)*(exp(-s) + 1))
= log(exp(s)) + log(exp(-s) + 1)
= s + log(exp(-s) + 1)

这会阻止上溢的发生——它不会阻止下溢，但是到发生的时候，你就有了答案（即s）。你不能只用它来代替原来的，因为它仍然会给你带来问题。但是，我们现在有了可以编写一个准确且不会产生上溢/下溢的函数的基础：

function LL = logistic(s)
if s<0
  LL = log(1 + exp(s));
else
  LL = s + logistic(-s);

我认为这保持了相当好的准确性。

EDIT 现在回答您的问题 - 使其矢量化，并允许计算斜率。让我们一次拿这些：

function LL = logisticVec(s)
  LL = zeros(size(s));
  LL(s<0) = log(1 + exp(s(s<0)));
  LL(s>=0) = s(s>=0) + log(1 + exp(-s(s>=0)));

要获得您想要的平均值：

L = logisticVec(X*beta) / N;

斜坡有点棘手；请注意，我相信您的表达式中可能有错字（缺少乘号）。

dL/dbeta = sum(X * exp(X*beta) ./ (1 + exp(X*beta))) / N;

如果我们将顶部和底部除以exp(X*beta)，我们得到

dL = sum(X ./ (exp(-X*beta) + 1)) / N;

再一次，溢出消失了，我们留下了下溢 - 但由于下溢的值添加了1，因此产生的错误是微不足道的。