寻找复数作为输入的优化

Question

我想知道是否有 C/C++ 库或 Matlab 代码技术可以使用最小化求解器来确定实数和复数。这是一个代码 sn-p 显示我想做的事情。例如，假设我知道Utilde，但不知道x 和U 变量。我想使用优化（fminsearch）来确定x 和U，给定Utilde。请注意，Utilde 是一个复数。

x = 1.5;
U = 50 + 1i*25;
x0 = [1 20];  % starting values
Utilde = U * (1 / exp(2 * x)) * exp( 1i * 2 * x);
xout = fminsearch(@(v)optim(v, Utilde), x0);

function diff = optim(v, Utilde)
x = v(1);
U = v(2);
diff =  abs( -(Utilde/U) + (1 / exp(2 * x)) * exp( 1i * 2 * x  ) );

上面的代码没有收敛到正确的值，xout = 1.7318 88.8760。但是，如果U = 50 不是复数，那么xout = 1.5000 50.0000 是正确的值。

在将Utilde 作为复数的情况下，Matlab 或 C/C++ 中是否有办法确保正确收敛？也许我必须更改上面的代码？

• 如果在 Matlab 中没有本地方法可以做到这一点，那么也许可以 问题的要点是：是否存在多变量（即 Nelder-Mead 或类似算法）优化库，能够 处理真实和复杂的输入和输出？

• 还有一个问题是函数是否收敛。一世 不知道是算法还是函数。我是否需要更改 Utilde = U * (1 / exp(2 * x)) * exp( 1i * 2 * x) 表达式中的某些内容以使其收敛？

Answer 1

fminsearch 的文档在limitations 部分说明了如何处理复数：

fminsearch 只对实数进行最小化，即x 必须只包含实数，f(x) 必须只返回实数。当x 有复变量时，必须将它们分成实部和虚部。

您可以使用函数real 和imag 分别提取实部和虚部。

Answer 2

似乎没有简单的方法可以做到这一点，即使x 和U 都是实数。 Utilde 的方程不适用于优化问题，因此必须修改。

我尝试编写自己版本的 Nelder-Mead 优化算法，并尝试了 Powell 的方法。即使我尝试修改这些方法，似乎也不能很好地解决这个问题。

Answer 3

这里的主要问题是这个优化或参数拟合问题没有唯一的解决方案。例如，查看上面的预期结果和实际结果，Utilde 对于两个 (x, U) 对是等效的（忽略舍入差异），即

Utilde(x = 1.5, U = 50 + 25i) = Utilde(x = 1.7318, U = 88.8760)

虽然我没有深入研究它，但我什至怀疑对于x 的任何值，您都可以找到一个计算为Utilde(x, U) = Utilde(x = 1.5, U = 50 + 25i) 的U。

因此，这里的解决方案是进一步约束参数拟合问题，以便求解器产生可以被认为可接受的任何解决方案。或者，将 Utilde 重新表述为对任何 (x, U) 对都具有唯一值。

8 月 1 日更新

给定合理的起始值，实际上似乎将x 限制为实值就足够了。使用上面公式化的diff函数进行无约束非线性优化，得到如下结果：

x = 1.50462926953244
U = 50.6977768845879 + 24.7676554234729i
diff = 3.18731710515855E-06

但是，将初始猜测更改为与期望值更远的值确实会产生不同的解决方案，因此将 x 限制为实值并不能单独为问题提供唯一的解决方案。

我已经在 C# 中使用 BOBYQA 优化器实现了这一点，但数字应该与上面相同。如果您想在 Matlab 之外尝试，使用 std::complex 类和您自己选择的（无约束）非线性 C++ 优化器将下面的 C# 代码转换为 C++ 代码也应该相对简单。您可以找到一些不需要梯度计算的 C++ 兼容代码here，并且在 Numerical Recipes 中也有各种可用的实现。比如你可以在线访问C版的NRhere。

作为参考，以下是我的 C# 代码的相关部分：

class Program
{
    private static readonly Complex Coeff = new Complex(-2.0, 2.0);
    private static readonly Complex UTilde0 = GetUTilde(1.5, new Complex(50.0, 25.0));

    static void Main(string[] args)
    {
        double[] vars = new[] {1.0, 25.0, 0.0}; // xstart = 1.0, Ustart = 25.0
        BobyqaExitStatus status = Bobyqa.FindMinimum(GetObjfnValue, vars.Length, vars);
    }

    public static Complex GetUTilde(double x, Complex U)
    {
        return U * Complex.Exp(Coeff * x);
    }

    public static double GetObjfnValue(int n, double[] vars)
    {
        double x = vars[0]; 
        Complex U = new Complex(vars[1], vars[2]);
        return Complex.Abs(-UTilde0 / U + Complex.Exp(Coeff * x));
    }
}