通过 MATLAB 中的欧拉方法对摆进行“线性模型”

Question

在我的问题中，线性模态被定义为 sin(x) 级数展开中的第一项，因此：

sin(x) = x 是线性模态。

所以有了这个，我就得写了

作为 x' 和 y' 的系统，所以：

我尝试了欧拉方法中的线性模态，初始条件 X(1) = 1 和 V(1)=0（V 将是 y 然后遵循最后一个方程）：

for i = 1:1000
    V(i+1) = V(i)-(1.*s) ;
    X(i+1) = V(i);
end 

其中 s 是步长。但显然，当我相对于 X 绘制 V 时，我应该得到一个圆圈，这是有道理的，但我得到的只是一条直线。

如果我将其更改为：

for i = 1:1000
    V(i+1) = V(i)-(X(i).*s) ;
    X(i+1) = V(i);
end 

在 s=0.8 时，我得到一个螺旋，这看起来像是一个发展，但我并不接近我所期待的圆形。我想我只需要一双全新的眼睛来看看可能存在明显错误的地方。

Answer 1

您编写的代码与您在方程式中写下的完全不同。如果你用相同的顺序和变量名写下方程，你可能已经看到你的错误了。

此外，您应该知道以下几点：

• 步长在两个方程中都不是线性因子。
• 在您的第一次尝试中，X 对 V 没有影响。

尽管如此，这里是将您的方程式直接转换为代码（以及欧拉方法）：

for i = 1:1000
    x(i+1) = x(i) + y(i)*s;
    y(i+1) = y(i) + sin(x(i))*s;
end

如果您真的想使用线性近似，只需将sin(x(i)) 替换为x(i)。然而，线性逼近的要点是它对解析解和理论分析很好。由于您是用数字解决问题，我认为没有必要。

最后，请注意，由于您正在积分哈密顿系统，您将很快看到欧拉方法的问题，即，您总是会得到一个明显的螺旋。试想一下，如果你用切向向量模拟地球绕太阳运动会发生什么：