ODE45 和 Runge-Kutta 方法的绝对误差与解析解的比较

Question

如果有人可以帮助解决以下问题，我将不胜感激。 我有以下 ODE：

dr/dt = 4*exp(0.8*t) - 0.5*r   ,r(0)=2, t[0,1]       (1)

我以两种不同的方式解决了 (1)。 通过 Runge-Kutta 方法（四阶）和 Matlab 中的ode45。我将这两个结果与解析解进行了比较，解析解由下式给出：

r(t) = 4/1.3 (exp(0.8*t) - exp(-0.5*t)) + 2*exp(-0.5*t)

当我绘制每种方法相对于精确解的绝对误差时，我得到以下信息：

对于 RK 方法，我的代码是：

h=1/50;                                            
x = 0:h:1;                                        
y = zeros(1,length(x)); 
y(1) = 2;    
F_xy = @(t,r) 4.*exp(0.8*t) - 0.5*r;                   
for i=1:(length(x)-1)                              
    k_1 = F_xy(x(i),y(i));
    k_2 = F_xy(x(i)+0.5*h,y(i)+0.5*h*k_1);
    k_3 = F_xy((x(i)+0.5*h),(y(i)+0.5*h*k_2));
    k_4 = F_xy((x(i)+h),(y(i)+k_3*h));
    y(i+1) = y(i) + (1/6)*(k_1+2*k_2+2*k_3+k_4)*h;  % main equation
end

对于ode45：

tspan = 0:1/50:1;
x0 = 2;
f = @(t,r) 4.*exp(0.8*t) - 0.5*r;
[tid, y_ode45] = ode45(f,tspan,x0);

我的问题是，为什么我在使用ode45 时会出现振荡？ （我指的是绝对错误）。两种解决方案都是准确的 (1e-9)，但在这种情况下，ode45 会发生什么？

当我计算 RK 方法的绝对误差时，为什么它看起来更好？

Answer 1

您的 RK4 函数采用的步数比ode45 的步数小得多。您真正看到的是由polynomial interpolation 引起的错误，该错误用于在ode45 采取的真实步骤之间产生点。这通常被称为“密集输出”（参见Hairer & Ostermann 1990）。

当您指定具有两个以上元素的TSPAN 向量时，Matlab's ODE suite solvers 会产生固定步长输出。这并不意味着他们实际上使用了固定的步长，或者他们使用了TSPAN 中指定的步长。您可以通过ode45 输出结构并使用deval 来查看实际使用的步长，并仍然获得所需的固定步长输出：

sol = ode45(f,tspan,x0);
diff(sol.x) % Actual step sizes used
y_ode45 = deval(sol,tspan);

您会看到在 0.02 的初始步骤之后，因为您的 ODE 很简单，它会在后续步骤中收敛到 0.1。默认容差与默认最大步长限制（积分间隔的十分之一）相结合确定了这一点。让我们在真实的步骤中绘制错误：

exactsol = @(t)(4/1.3)*(exp(0.8*t)-exp(-0.5*t))+2*exp(-0.5*t);
abs_err_ode45 = abs(exactsol(tspan)-y_ode45);
abs_err_ode45_true = abs(exactsol(sol.x)-sol.y);
abs_err_rk4 = abs(exactsol(tspan)-y);
figure;
plot(tspan,abs_err_ode45,'b',sol.x,abs_err_ode45_true,'k.',tspan,abs_err_rk4,'r--')
legend('ODE45','ODE45 (True Steps)','RK4',2)

如您所见，真实步骤的误差比 RK4 的误差增长得更慢（ode45 实际上是比 RK4 更高阶的方法，所以您会预料到这一点）。由于插值，误差在积分点之间增长。如果你想限制这个，那么你应该通过odeset调整公差或其他选项。

如果您想强制 ode45 使用 1/50 的步骤，您可以这样做（因为您的 ODE 很简单所以有效）：

opts = odeset('MaxStep',1/50,'InitialStep',1/50);
sol = ode45(f,tspan,x0,opts);
diff(sol.x)
y_ode45 = deval(sol,tspan);

对于另一个实验，尝试扩大积分间隔以积分到t = 10。你会在错误中看到很多有趣的行为（在这里绘制相对错误很有用）。你能解释一下吗？你可以使用ode45 和odeset 来产生表现良好的结果吗？使用自适应步进方法在大间隔内集成指数函数具有挑战性，ode45 不一定是这项工作的最佳工具。不过有alternatives，但它们可能需要一些编程。

Answer 2

ode45 耦合 rk4-rk5。我个人认为 ODE45 错误更好。请注意，它保持有界。 ode4 在误差幅度过大时得到纠正，每个周期的最小误差约为 1e-10。 rk4 正在“逃跑”，没有什么能阻止它。