为什么 log 和 exp matlab 函数会产生相反的结果？答案

【问题标题】：why does log and exp matlab functions produce the inverse result?为什么 log 和 exp matlab 函数会产生相反的结果？
【发布时间】：2014-02-18 11:31:33
【问题描述】：

为什么a和matlab中的b不一样？？

a = signal;
b = exp(log(signal));

如果我绘制a和b，信号不一样，有什么帮助吗？

【问题讨论】：

什么是signal？它是否偶然有负面或虚构的成分？ “不一样”是什么意思？在相等的意义上（我假设你是在浮点中接线）或完全不同的值？
@horchler 信号是信号的一个例子。是的，它有负值。
在 matlab 中显示一个例子！

标签： matlab logarithm exponential

【解决方案1】：

负数的对数-x 是y = log(x)+pi*1i。因此，当您将指数函数应用于y 时，您将得到一个零虚部（或看起来像零的东西）。试试这个例子：

format long
x = -1;
y = exp(log(x))
abserr = abs(x-y)

阅读有关复数对数的更多信息here。

当然，浮点数也可能导致不准确。如果您的signal 的值接近1/eps（或-1/eps），则绝对误差可能特别重要。试试

x = 1/eps;
y = exp(log(x));
abserr = abs(y-x)  
relerr = abs(y-x)/abs(x)

abserr =

  11.500000000000000


relerr =

     2.553512956637860e-15

请注意，相对误差很小。在floating point calculations 中，相对误差通常是我们希望控制的。

【讨论】：

我必须多次阅读“留下零虚部”才能理解您在这里要说的内容。基本上，exp(y) 将是复值，其中 x 是实数。由于舍入误差，exp(y) 的虚部可能不完全为零。
@sellibitze：感谢您的建议——我已尝试更新。这个想法是，即使虚部正好为零，输出现在也将是复数（即，当输入以前都是实数时，现在虚部为零：complex(-1,0)）。因此，看起来结果可能有所不同。而且即使打印出来的虚部看起来为零，也可能只是很小而已。
现在，我不确定你想用“留下零虚部”说什么。尽管我知道复指数背后的数学并且可以写出我自己的答案，但我还是觉得它相当混乱。
@sellibitze：取一个负数的对数，例如，log(-1)，得到一个复数。从数学上讲，取log(-1) 的指数应该得到-1。但我们不是在做数学，而是在编程。因此，如果没有数字错误，Matlab 将返回complex(-1,0)（它实际上返回-1+1.224646799147353e-16*1i，打印时看起来相同）。因为log(-1) 的中间结果很复杂，所以后面的所有结果都会很复杂。将“复杂”视为数据类型而不是数学结构（输入 whos 以查看变量是否复杂）。
您可以阅读complex 上的文档。顺便说一句，isreal(complex(-1,0)) 在 Matlab 中返回 false。

【解决方案2】：

如果您使用带有复数或负数的log，Matlab 会计算复数对数。这会产生意想不到的结果。

a = abs(signal);
b = exp(log(a));

将按照您的预期工作（尽管信号的复杂部分和符号会在此过程中丢失）。

b = log(exp(signal));

也可以使用，因为它不需要处理复杂的对数。

换句话说，您必须确保尊重您的职能领域。真实的（如非复数）log 的域都是正数（！）实数，而真实的exp 的域是所有数字。另一方面，log 的图像都是实数，而真实的exp 的图像都是正实数。这就是为什么它以一种方式工作，但不能以另一种方式工作。你正在尝试做一些真正的log 做不到的事情，所以Matlab 切换到复杂的log。虽然exp 仍然会反转它，但您会得到复杂的结果，这些结果的处理方式不同，并且看起来完全不同，具体取决于您之后对它们的处理方式。

【讨论】：

此外，horchler 的回答很好地解释了为什么它不适用于复数对数。我只是奇怪地没有收到关于他回答的通知......
但是 exp 确实反转 log 几乎完全一样的正数和负数 - 只有一个很小的数字错误。

【解决方案3】：

horchler 的回答当然是正确的——但我认为它错过了导致 OP 混乱的 plotting 部分。由于 Matlab 在必要时使用复数，log 也定义为负数，exp 应该是 log 的精确倒数——除了舍入误差。 signal 和 exp(log(signal)) 之间的数值差异几乎总是很小。一个例子：

>> signal = (-2:2)'

signal =

    -2
    -1
     0
     1
     2

>> exp(log(signal))

ans =

                         -2 +  2.44929359829471e-16i
                         -1 +  1.22464679914735e-16i
                          0 +                     0i
                          1 +                     0i
                          2 +                     0i

但是，plot 的行为会根据参数是实数还是复数而有所不同：

subplot(1, 2, 1)
plot(signal, '.-')
subplot(1, 2, 2)
plot(exp(log(signal)), '.-')

结果

虽然这两个向量的数值差异可以忽略不计，但绘图看起来完全不同。

这是因为如果使用单个实值向量作为参数调用，plot 使用给定的向量值作为垂直轴，使用向量索引 (1, 2, ...) 作为水平轴。但是，如果使用单个复值向量调用，plot 使用实部作为水平轴，使用虚部作为垂直轴。即上述代码中对plot的两次调用等价于

plot(1 : 5, signal, '.-')

和

plot(real(exp(log(signal))), imag(exp(log(signal))), '.-')

分别。

【讨论】：