计算表达式的对数，给定变量的对数

Question

我必须以编程方式确定表达式的值：

 S = log(x1y1 + x2y2 + x3 y3 ...) 

仅使用以下值：

lxi = log(xi)
lyi = log(yi)

计算每个 lx_i 和 ly_i 的反对数可能是不切实际的，也不是想要的...

有没有什么方法可以把这个评估分解成一个简单的总结？

编辑

我在某处看到了一个 C 函数，它以简单的求和方式进行计算：

double log_add(double lx, double ly)
{
   double temp,diff,z;

   if (lx<ly) {
      temp = lx; lx = ly; ly = temp;
   }
   diff = ly-lx;
   z = exp(diff);
   return lx+log(1.0+z);
}

为每对值添加返回值，这似乎给出了正确的答案。但我无法弄清楚它是如何以及为什么起作用的！

Answer 1

直接的方法是执行两次求幂：

ln(x+y) = ln(e^ln(x) + e^ln(y))

log_add 函数使用稍微不同的方法来获得相同的结果，只需要 一个：

ln(x+y) = ln((x+y)x/x)
= ln((x+y)/x) + ln(x)
= ln(1 + y/x) + ln(x)
= ln(1 + e^ln(y/x)) + ln(x)
= ln(1 + e^ln(y)-ln(x)) + ln(x)