为什么像 i=i*2 这样的代码在循环中被认为是 O(logN)？答案

【问题标题】：Why is code like i=i*2 considered O(logN) when in a loop?为什么像 i=i*2 这样的代码在循环中被认为是 O(logN)？
【发布时间】：2017-08-02 21:04:45
【问题描述】：

为什么因为 i=i*2 是下面的循环的运行时间被认为是 O(logN)？

for (int i = 1; i <= N;) {
  code with O(1);
  i = i * 2;
}

【问题讨论】：

你确定你的意思是包含乘法的行吗？整个循环具有日志复杂性。
我的意思是，整个循环，对这个还是新的。

标签： time-complexity big-o logarithm

【解决方案1】：

看看 1024 = 2¹⁰。数字 1 要加倍多少次才能得到 1024？

Times    1   2   3   4    5    6    7    8     9      10
Result   2   4   8   16   32   64  128  256   512    1024

所以你必须运行你的加倍循环十次才能得到 2¹⁰一般来说，你必须运行你的加倍循环 n 次才能得到 2ⁿ。但是什么是n？它是 log₂ 2ⁿ，所以通常如果 n 是 2 的某个幂，则循环必须运行 log₂n 次才能达到它。

【讨论】：

【解决方案2】：

要在O(logN) 中使用算法，对于任何 N，它都需要（大约）log N 步。在 N=32（其中 log 32 = 5）的示例中可以看出：

i = 1 (start)
i = 2
i = 4
i = 8
i = 16
i = 32 (5 iterations)
i = 64 (abort after 6 iterations)

一般来说，x 迭代后，i=2^x 成立。要联系i>N，您需要x = log N + 1。

PS：在谈到复杂性时，log 基数 (2, 10, e, ...) 是不相关的。此外，如果您有 i <= N 或 i < N 则无关紧要，因为这只会将迭代次数更改一。

【讨论】：

【解决方案3】：

你可以很简单地证明它。

声明：对于tth (0 base) 迭代，i=2^t 通过归纳证明。

基础：2^0 = 1，实际上在第一次迭代中，i=1。

步骤：对于某些t+1，i 的值为2*i(t)（其中i(t) 是t 迭代中i 的值）。根据归纳假设，我们知道i(t)=2^t，因此知道i(t+1) = 2*i(t) = 2*2^t = 2^(t+1)，并且该主张成立。

现在，让我们检查一下我们的停止条件。我们在 i <= N 时迭代循环，根据上述声明，这意味着我们在 2^t <= N 时迭代。通过在两边都执行log_2，我们得到log_2(2^t) <= log_2(N)，并且由于log_2(2^t) = t，我们得到我们在t <= log_2(N) 时迭代——所以我们迭代Theta(log_2(N)) 次。（这就是证明的结束）。

【讨论】：

【解决方案4】：

i 从 1 开始。在每次迭代中，您将 i 乘以 2，因此在第 K-th 次迭代中，i 将是 >2^K-1.

经过 K 次迭代后，2^K-1 将大于（或大于）N.

这意味着 N ≤ 2^K-1

这意味着 log₂(N) ≤ K-1

K-1 将是您的循环将运行的迭代次数，并且由于 K-1 大于或等于 log(N)，你的算法是对数的。

【讨论】：