失效概率 - 极限状态函数 - 蒙特卡罗方法

Question

我想计算失败的概率，pf采用蒙特卡罗方法。

通过比较时间t的物质含量C(x=a,t)和临界含量Ccrit得到极限状态方程：

LSF: g(Ccrit, C(x=a,t)) = Ccrit - C(x=a, t) < 0

Ccrit 遵循 beta 分布 Ccrit~B(mean=0.6, s=0.15, a=0.20, b=2.0)。生成的分布：

r=((mean-a)/(b-a))*((((mean-a)*(b-mean))/(s^2))-1)
t=((b-mean)/(b-a))*((((mean-a)*(b-mean))/(s^2))-1)
Ccrit=beta.rvs(r,t,a,b,1e6)

C(x=a, t) 是 11 个其他变量（β、正态、确定性、对数正态等）的函数，并随时间 t 变化。这些变量已通过 scipy.stats 定义，例如：

Var1=truncnorm.rvs(0, 1000, 60e-3, 6e-3, 1e6)

(...)

Var11=Csax=dist.lognormal(l, z, 1e6)

生成所有变量后，我很难计算 pf。

我已经看到了：

P(Ccrit < C) = integral -inf to +inf Fccrit(c) * fC(c) dc

导致 pf 但我对如何计算它一无所知。

感谢您的帮助，

谢谢

Answer 1

嗯，我是怎么理解你的问题的，这是从粗略的蒙特卡罗模拟中计算失败概率的方法：

pf = sum(I(g(x))/N 

where:
N      - is the number of simulations
x      - is the vector of all the involved random variables
I(arg) - is an indicator function, defined as:

   if arg < 0
     I = 1
   else
     I = 0
   end

模拟方法基本上是为了规避复杂或不可能的积分而发明的，在这种情况下不需要你提到的积分。

请记住，估计的变异系数与1/sqrt(N) 成正比。

我试图尽可能清楚地使用符号，以防出现问题，请参阅this 讲义以获得更好的格式。 我假设您使用了粗略的 Monte Carlo，但对于重要性抽样，您也可以在链接源中找到公式。

上述公式是时不变的；您的问题涉及时间这一事实通常会使任务变得更加困难。 解决技术取决于时变，因为没有给出这方面的细节我只能向你推荐一个book (Melchers, Structural Reliability Analysis and Prediction)，其中详细处理了问题：

通常，时变问题可以（至少以近似方式）简化为时变问题，并且可以使用上述公式。或者，如果这对您的问题有意义的话，您可以使用上面概述的“方法”计算每个时刻的失败概率。

因为C 是实质内容，所以问题可能不包含随机过程，而仅包含单调递增（随时间）的随机变量，在这种情况下，失败概率是最后时刻的非时变失败概率（当浓度最接近临界值时），因此可以直接使用上述蒙特卡罗技术。这种类型的问题称为右边界问题，更多细节： Construction Reliability: Safety, Variability and Sustainability. Chapter 10.

如果这不是您想要完成的，请给我们更多详细信息。