当给定行和列的总和时确定矩阵的元素答案

【问题标题】：Determine elements of a matrix when sum of rows and columns are given当给定行和列的总和时确定矩阵的元素
【发布时间】：2012-06-08 11:30:29
【问题描述】：

有一个 4x4 矩阵，所有 4 个对角线元素都为零。所有其他元素都是非负整数。所有 4 行和 4 列的总和是单独已知的。是否可以确定矩阵的剩余 12 个元素？例如

0      1     1     0   sum=2
2      0     0     1   sum=3
4      1     0     0   sum=5
0      1     6     0   sum=7
sum=6 sum=3 sum=7 sum=1

任何指导都会非常有帮助。谢谢

【问题讨论】：

【解决方案1】：

矩阵是

0 a₁₂ a₁₃ a₁₄

a₂₁ 0 a₂₃ a₂₄

a₃₁ a₃₂ 0 a₃₄

a₄₁ a₄₂ a₄₃ 0

问题是求解一组线性方程：

a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ = c₁

a₂₁ + a₂₃ + a₂₄ = c₂

等等。我们有 12 个变量和 8 个方程（行 4 个，列 4 个）。要求解一个有 12 个变量的线性方程组，我们通常需要 12 个方程。由于方程的数量较少，系统不会有唯一解。它可能有无限多的解决方案。

【讨论】：

【解决方案2】：

矩阵是

0 a₁₂ a₁₃ a₁₄

a₂₁ 0 a₂₃ a₂₄

a₃₁ a₃₂ 0 a₃₄

a₄₁ a₄₂ a₄₃ 0

问题是求解一组线性方程：

a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ = r₁

a₂₁ + a₂₃ + a₂₄ = r₂

a₃₁ + a₃₂ + a₃₄ = r₃

a₄₁ + a₄₃ + a₄₄ = r₄

a₂₁ + a₃₁ + a₄₁ = c₁

a₁₂ + a₃₂ + a₄₂ = c₂

a₁₃ + a₂₃ + a₄₃ = c₃

a₁₄ + a₃₄ + a₄₄ = c₄

因此，您需要求解 Ax = b 形式的方程，其中 A 仅包含 0 和 1 个系数。使用高斯消元法和欧几里得算法找到整数矩阵 S、D、T，使得 D 为对角线形式且 SDT = A。如果您不知道如何执行此操作，请在网上搜索 Smith normal form algorithm.

然后

SDTx = Ax = b

这样

DTx = S^-1Ax = S^-1b

由于 D 是对角线形式，您可以检查是否可以解决

Dy = S^-1b

对于 y。您还可以找到（同质）解空间的基础。这反过来又可以用来降低寻找原始方程正解的复杂性。

【讨论】：