当分母与m不互质时如何计算“模乘逆”？答案

【问题标题】：How to calculate "modular multiplicative inverse" when the denominator is not co-prime with m?当分母与m不互质时如何计算“模乘逆”？
【发布时间】：2010-12-04 01:17:20
【问题描述】：

我需要计算 (a/b) mod m，其中 a 和 b 是非常大的数字。

我要做的是计算 (a mod m) * (x mod m)，其中 x 是 b 的 modular inverse .

我尝试使用Extended Euclidean algorithm，但是当 b 和 m 不是互质数时该怎么办？具体是mentioned，b 和 m 需要互质。

我尝试使用代码here，并意识到例如： 3 * x mod 12 对于 x 的任何值都不可能，它不存在！

我该怎么办？算法可以修改吗？

【问题讨论】：

标签： numbers modulo largenumber

【解决方案1】：

是的，你有麻烦了。如果 b 和 m 有公约数，x 在b*x = 1 mod m 中没有解。同样，在您的原始问题a/b = y mod m 中，您正在寻找 y 使得a=by mod m。如果 a 可以被 gcd(b,m) 整除，那么您可以除以该因子并求解 y。如果不是，则没有 y 可以解方程（即未定义 a/b mod m）。

【讨论】：

我不确定你的意思。如果 a 可以被 gcd(b,m) 整除，那么你可以解决它。否则，甚至没有定义除法操作。您需要找出另一种方法来实现您的最终目标，而无需模块化划分。
我的意思是，“在没有模块化划分的情况下实现我的最终目标”的其他方法是什么？
@eSKay 你的问题没有意义。你的最终目标是什么？
你为什么要做模块化划分？我认为您正在尝试使用模块化除法作为子程序来执行某些任务（也称为最终目标）。那是什么任务？我认为无论它是什么，模块化划分可能都不是答案。
@Keith Randall 是的，你是对的。我要做的是计算一系列形式为 1+x+x^2+x^3+...+x^n % m 的 mod。我提到了 a/b 形式，因为我尝试使用几何和公式。迭代整个系列 id 不是一个选项，因为 n 非常大（~10^17）

【解决方案2】：

b 和 m 必须互质的原因是因为中国剩余定理。基本上是问题：

3 * x mod 12

可以认为是一个复合问题，涉及

3*x mod 3 和 3*x mod 4 = 2^2

现在如果 b 不是 12 的互质数，这就像试图除以零一样。因此答案不存在！

这是由于抽象代数中的场论。字段基本上是一个具有明确定义的加法、减法、乘法和除法的集合。有限域的形式总是 GF(p^n)，其中 p 是素数，n 是正整数，运算是模 p^n 的加法和乘法。现在，12 不是一个主要的力量，所以你的 ring 不是一个领域。因此，对于任何不与 m 互质的 b，这个问题都无法解决。

【讨论】：

【解决方案3】：

检查这个：http://www.math.harvard.edu/~sarah/magic/topics/division 它可能会有所帮助。它解释了模块化划分的方法。

【讨论】：