手动修改数字的快速方法答案

【问题标题】：Fast way to manually mod a number手动修改数字的快速方法
【发布时间】：2010-11-02 13:04:05
【问题描述】：

我需要能够为非常大的 a 和 b 值计算 (a^b) % c（它们分别在推动限制，当您尝试计算 a^b 时会导致溢出错误）。对于足够小的数字，使用恒等式 (a^b)%c = (a%c)^b%c 有效，但如果 c 太大，这并没有真正的帮助。我写了一个循环来手动进行 mod 操作，一次一个：

private static long no_Overflow_Mod(ulong num_base, ulong num_exponent, ulong mod) 
    {
        long answer = 1;
        for (int x = 0; x < num_exponent; x++)
        {
            answer = (answer * num_base) % mod;
        }
        return answer;
    }

但这需要很长时间。是否有任何简单快捷的方法来执行此操作，而无需实际使用 a 的 b AND 的幂而不使用耗时的循环？如果一切都失败了，我可以创建一个 bool 数组来表示一个巨大的数据类型，并弄清楚如何使用位运算符来做到这一点，但必须有更好的方法。

【问题讨论】：

听起来像是欧拉问题...如果是，您应该在问题中明确说明，而不是试图作弊...
了解 a、b 和 c 的范围可能对我们有所帮助。
这个布尔数组的想法是行不通的。 Bool 数组不是位向量，它们不是打包存储的。另外，您不必依赖直接的硬件数学运算。
我实际上根本没有试图解决这个问题，我需要这个算法来编写我正在编写的加密程序。
这是为了您自己的启迪，还是您打算真正依靠您的算法来保护您的客户免受作恶者的侵害？如果是前者，你去。如果是后者，我强烈建议您重新考虑。

标签： c# algorithm modulo

【解决方案1】：

我猜你正在寻找：http://en.wikipedia.org/wiki/Montgomery_reduction 或基于模幂的更简单方法（来自维基百科）

Bignum modpow(Bignum base, Bignum exponent, Bignum modulus) {

    Bignum result = 1;

    while (exponent > 0) {
        if ((exponent & 1) == 1) {
            // multiply in this bit's contribution while using modulus to keep result small
            result = (result * base) % modulus;
        }
        // move to the next bit of the exponent, square (and mod) the base accordingly
        exponent >>= 1;
        base = (base * base) % modulus;
    }

    return result;
}

【讨论】：

如果模数小于指数，我认为您可以通过取指数的 1 位计数的模数来改进此算法，并且只进行那么多循环迭代。在某些情况下，实际上可以做得比这更好。见凯的回答。
我认为只要 result = 0 result = (result * base) % modules; if (result == 0) 中断；
格式搞砸了我的评论。添加“如果（结果== 0）中断；”计算结果后。
其实在你对 result*base 进行复数之前，检查 base==0 然后再break。
"exponent >>= 1;"之后可以在底部突破if exponent == 0 并避免最后的乘法和模法。

【解决方案2】：

快速模幂运算（我认为这就是所谓的）可能会起作用。

给定 a, b, c 和 a^b (mod c)： 1. 将 b 写为 2 的幂的和。（如果 b=72，则为 2^6 + 2^3 ） 2. 做： (1) a^2 (mod c) = a* (2) (a*)^2 (mod c) = a* (3) (a*)^2 (mod c) = a* ... (n) (a*)^2 (mod c) = a* 3. 使用上面的 a*，将 a* 乘以您确定的 2 的幂。例如： b = 72，在 3 处使用 a*，在 6 处使用 a*。 a*(3) x a*(6) (mod c) 4. 一次做上一步的乘法，最后得到 a^b % c。

现在，我不知道您将如何处理数据类型。只要你的数据类型可以支持c^2，我想你会没事的。

如果使用字符串，只需创建加法、减法和乘法的字符串版本（不要太难）。这种方法应该足够快。（并且您可以通过 mod c 开始第 1 步，这样 a 永远不会大于 c）。

编辑：哦，看，Modular Exponentiation 上的 wiki 页面。

【讨论】：

【解决方案3】：

这是 java 中快速模幂运算的示例（在较早的答案之一中建议）。将其转换为 C# 应该不会太难

http://www.math.umn.edu/~garrett/crypto/a01/FastPow.html

来源...

http://www.math.umn.edu/~garrett/crypto/a01/FastPow.java

【讨论】：

【解决方案4】：

Python 有 pow(a,b,c) ，它返回 (a**b)%c （只是更快），所以必须有一些聪明的方法来做到这一点。也许他们只是做你提到的身份。

【讨论】：

【解决方案5】：

我建议检查 Decimal 文档并查看它是否满足您的要求，因为它是内置类型并且可以使用 mod 运算符。如果没有，那么您将需要一个任意精度库，例如 java 的 Bignum。

【讨论】：

不，我说的是，因为他需要找到一个等价物。不读书的方式。
他说喜欢 Java 的 Bignum。不*使用”Java 的 Bignum。鉴于他知道 C# 的十进制类型，他知道问题是关于 C# 的可能是一个不错的选择。

【解决方案6】：

您可以尝试将“a”分解为足够小的数字。

如果'a'的因子是'x'、'y'和'z'，那么

a^b = (x^b)(y^b)(z^b)。

那么你就可以使用你的身份了：(a^b)%c = (a%c)^b%c

【讨论】：

除了因式分解比模数更难的问题
我会开始在一个循环中划分 a/2 直到它没有均匀划分......然后 a/3 等用素数直到“a”“足够小” a^b 不会溢出。然后按照原海报所述完成操作。

【解决方案7】：

在我看来，power 和 mod 之间存在某种关系。幂只是重复乘法，而mod与除法有关。我们知道乘法和除法是相反的，所以通过这种联系，我假设幂和 mod 之间存在相关性。

例如，取 5 的幂：

5 % 4 = 1
25 % 4 = 1
125 % 4 = 1
625 % 4 = 1
...

模式很明显，对于 b 的所有值，5 ^ b % 4 = 1。

在这种情况下不太清楚：

5 % 3 = 2
25 % 3 = 1
125 % 3 = 2
625 % 3 = 1
3125 % 3 = 2
15625 % 3 = 1
78125 % 3 = 2
...

但还是有规律的。

如果你能计算出模式背后的数学，如果你能在不计算实际功率的情况下计算出 mod 的价值，我不会感到惊讶。

【讨论】：

该模式显而易见且众所周知。这是费马小定理（并且在 OP 中使用了恒等式）。
啊，是的，你是对的，谢谢你指点我。如果您以前考虑过此类问题，那么这很明显，我很感激自己得出了这个想法:)
OP 中的费马小定理在哪里？
对不起，我说得太快了。这不是费马。 Kai的帖子和OP都是基本的模乘。

【解决方案8】：

你可以试试这个：

C#：对非常大的数 (> Int64.MaxValue) 执行取模 (mod) 运算
http://www.del337ed.com/blog/index.php/2009/02/04/c-doing-a-modulus-mod-operation-on-a-very-large-number-int64maxvalue/

【讨论】：

【解决方案9】：

不用自己编写fast modular exponentiation，我能想到的最简单的想法是使用 F# BigInt 类型：Microsoft.FSharp.Math.Types.BigInt，它支持任意大规模的运算 - 包括求幂和模运算。

它是一个内置类型，将在下一个版本中成为完整 .NET 框架的一部分。您无需使用 F# 即可使用 BitInt - 您可以直接在 C# 中使用它。

【讨论】：

【解决方案10】：

你能分解a、b或c吗？ C 是否有已知范围？

这些是 32 位整数！去看看这个site

例如，这里是如何获得 n%d 的 mod where d 1>>s (1,2,4,8,...)

  int n = 137;     // numerator
  int d = 32;      // denom d will be one of: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
  int m;           // m will be n % d
  m = n & (d - 1);

有 n%d 的代码，其中 d 为 1>>s - 1 (1, 3, 7, 15, 31, ...)

这只有在 c 很小的情况下才会真正有帮助，就像你说的那样。

【讨论】：

你的意思是，“其中 d 是 1
是的。我什至不能从另一个网站复制而不会出错！

【解决方案11】：

看起来像密码学作业。

提示：查看Fermat's little theorem。

【讨论】：