快速中值更新算法答案

【问题标题】：Algorithm for Fast Median Update快速中值更新算法
【发布时间】：2013-06-09 18:13:05
【问题描述】：

假设在某个时间点，您有一组N 数字并且知道中间元素：M。现在，您获得了一个新值X，因此您可能需要更新M。（或者更确切地说，假设您处理的数字都是唯一的，您将需要这样做。此外，所有样本都是按顺序接收的，因此不存在并发问题。）

计算新平均值很简单：取旧平均值，加上X，乘以N，然后除以N + 1。（通过检查 N 个元素的平均值是如何定义的，这一点很清楚。目前我不太担心数字。）

我的问题是：任何人都可以建议一种创造性/新颖（或者可能是可证明的最佳）方法来解决更新中位数的问题吗？我将在下面提供一个示例（我自己设计的简单想法），并进行一些分析：

在此示例中，我将使用 std::forward_list，因为 C++11 是我最近遇到此问题的地方。在不失一般性的情况下，我将假设您以正确的方式进行此操作：维护迄今为止遇到的元素（类型 T）的有序列表，std::forward_list<T> sorted; 当出现T x; 时，只需将其折叠到位使用：

sorted.merge(std::forward_list<T> {{ x }});

顺便说一句，我很好奇是否有人对此有更好（更高效/优雅）的方法。欢迎抱怨。

所以，X 现在是sorted 的一部分，简而言之，这是我的想法：

auto it = sorted.begin(), itend = sorted.end();
typename std::forward_list<T>::size_type count = std::distance(it, itend);
for (const auto &e : sorted) {
    if (it == itend || ++it == itend) {
        M = (count % 2) ? e : (e + M) / 2;
        break;
    } else { ++it; }
}

这里发生的一件好事（如果不是有点难看的话）是：因为您将迭代器向前移动两次（并且安全地，我可能会添加，尽管代价是两次比较），当@987654335达到@，我们将处于正确的（中值）值。如果有奇数个元素，M 就是那个样本，如果没有，它只是这个元素和旧（推出）中位数的平均值。因为奇数和偶数交替出现，所以旧的或新的M 实际上会在集合中。这个推理是正确的，是吗？

如果您认为我的 O(3n) 方法是垃圾/您的方法要好得多，则无需评论它；我只是建议它作为一个起点。

【问题讨论】：

你当然可以在 O(log(n)) 时间内完成。将元素添加到平衡二叉树并选择第 k 个最大元素都是 O(log(n)) 时间操作。对于更有趣的事情，可以尝试 2 个堆，一个用于 n/2 个最大的元素，一个用于最小的元素。
@MarcGlisse：看我的回答，你不必搜索第 k 个大元素，因为你已经知道它或者第 (k+1) 或 (k-1) 个最大的元素元素:-)
@SauceMaster 似乎您正在跟踪列表中出现次数最多的元素。这不是中位数。
@ArneMertz：哈哈，是的。那绝对是模式。对不起！

标签： c++ algorithm mean median forward-list

【解决方案1】：

您可以将数组拆分为两个堆树，大小相等，I 是最小部分或数组，S 是最大部分，它们的顶部包含最大和最小元素.说数组1, 2, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 8, 8是这样组织的：

 1 4
 \ /
  4   2
   \ /
    5  <--- I's top

    5  <--- S's top
   / \
  7   8
 / \
 8 8

注意，如果元素的数量是偶数，那么中位数 = top(S)+top(I)，如果是奇数，那么其中一个堆应该是一个比另一个大的元素，并且中位数在更大的一个之上。

完成此操作后，更新中位数就很简单了，您应该将元素添加到其中一个堆中，如果 top(S) 小于 top(I)，则交换它们的顶部。

【讨论】：

【解决方案2】：

您可以使用std::set，并且插入集合不会使迭代器无效这一事实。

如果N 是奇数，您可以将迭代器mIt 放在集合的中间元素上，如果N 是偶数，则放在两个中间元素的左边。

让我们考虑一下插入元素时可能遇到的不同情况：

N 为奇数时插入：如果插入的元素小于*mIt，则旧中值在两个新中值元素的右侧，因此递减迭代器。如果它更大（或等于multiset），一切都很好。
N 为偶数时插入：如果插入的元素大于（或等于）*mIt，则旧的右中位数变为中位数，因此递增迭代器。如果它更小，旧的左中位数就变成了中位数，一切都很好。

template <class T>
class MedianHolder {
  std::set<T> elements;
  std::set<T>::const_iterator mIt;

public:
  T const& getMedian() const { return *mIt; }

  void insert(T const& t) {
    if (elements.empty()) {
      mIt = elements.insert(t).first;
      return;
    }

    bool smaller = std::less<T>(t,getMedian());
    bool odd = (elements.size() % 2) == 1;

    if (!elements.insert(t).second)
      return; //not inserted

    if (odd && smaller) --mIt;
    else if (!odd && !smaller) ++mIt;
  }
};

我会把擦除元素作为练习留给你;-)

【讨论】：