选择算法问题

Question

假设你有一个包含 n 个项目的数组 A，并且你想找到 A 中最接近的 k 个项目 到 A 的中位数。例如，如果 A 包含 9 个值 {7, 14, 10, 12, 2, 11, 29, 3, 4} 和 k = 5，那么答案将是值 {7, 14, 10, 12, 11}，因为中位数 是 10，这些是 A 中最接近值 10 的五个值。给出一个算法 在 O(n) 时间内解决这个问题。

我知道选择算法（深度选择）是解决这个问题的合适算法，但我认为它会在 O(n*logn) 时间而不是 O(n) 时间内运行。任何帮助将不胜感激:)

Answer 1

您首先需要找到中位数，这可以在 O(n) 中完成（例如使用 Hoare 的 Quickselect 算法）。

然后您将需要实现一种排序算法，该算法根据元素与中位数的绝对距离（首先是最小距离）对数组中的元素进行排序。

如果您要以这种方式对整个数组进行排序，这通常需要从O(n * log n) 到O(n^2)，具体取决于所使用的算法。但是，由于您只需要第一个 k 值，因此可以将复杂性降低到 O(k * log n) 到 O(k * n)。

由于k 是一个常数并且不依赖于数组的大小，因此最坏情况下的总体复杂度将为：O(n)（用于查找中位数）+O(k * n)（排序），即总体上是O(n)。

Answer 2

我认为您可以使用快速排序的变体来做到这一点。

您从一组包含 n 个项目的 S 开始，并正在寻找“中间”k 个项目。您可以将其视为将 S 划分为大小为 n - k/2（“下”项目）、k（“中”项目）和 n - k/2（“上”项目）的三部分。

这给了我们一个策略：首先从 S 中移除较低的 n - k/2 个项目，留下 S'。然后从S'中去掉上面的n-k/2项，留下S''，也就是S的中间k项。

您可以使用“半快速排序”轻松地对集合进行分区：选择一个枢轴，将集合划分为 L 和 U（枢轴的上下元素），然后您知道要在分区中丢弃的项目必须要么是 L 的全部，要么是 U 的一部分，反之亦然：相应地递归。

[进一步思考，如果您以其他方式定义“最接近中位数”，这可能不是您想要的，但这是一个开始。]

Answer 3

假设：我们关心 A 中最接近中位数的 k 个值。如果我们有 A={1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3}，k=3，答案是 {2,2,2}。同样，如果我们有 A={0,1,2,3,3,4,5,6} 和 k=3，则答案 {2,3,3} 和 {3,3,4} 同样有效。此外，我们对这些值来自的索引不感兴趣，尽管我认为对算法进行一些小的调整会起作用。

1. 正如 Grodrigues 所说，首先在 O(n) 时间内找到中位数。当我们这样做时，请跟踪最大和最小的数字
2. 接下来，创建一个数组 K，k 项长。该数组将包含项目与中位数的距离。 （请注意，
3. 将前 k 项从 A 复制到 K。
4. 对于每个项目 A[i]，比较 A[i] 从中位数到 K 中每个项目的距离。如果 A[i] 比离中位数最远的项目更接近中位数，则替换为物品。作为一种优化，我们还可以跟踪 K 与中位数最近和最远的项目，因此我们可以更快地与 K 进行比较，或者我们可以保持 K 排序，但是这两种优化都不需要在 O(n) 时间内运行。

伪代码，C++ ish：

/* n = 数组长度 * 数组 = A，问题中给出 * result 是一个预分配的数组，将放置结果 * k 是结果的长度 * * 返回 * 0 表示成功 * -1 无效输入 * 1 表示其他错误 * * 实施说明：跳过优化。 */ #定义成功 0 #define INVALID_INPUT -1 #定义错误 1 void find_k_closest(int n, int[] 数组, int k, int[] 结果) { // 如果我们正在寻找比可能更多的结果， // 不可能给出有效的结果。 if( k > n ) 返回无效输入； // 使用数组的前 k 个元素填充结果。 for(int i=0;iabs(b)) ? 1 : 0; 内在： for( int i=1; i